【推荐1】【概念认识】若以三角形某边上任意一点为圆心作半圆，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的“极限内半圆”．
【特例感知】如图1，中，，点P是边上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在的内部或边上，当半径最大时，半圆P为边关联的“极限内半圆”．


请尝试解决下面3个问题：
(1)如图1，边关联的“极限内半圆”半圆P与边的位置关系是____________．
(2)在（1）的条件下，若，则边关联的“极限内半圆”半圆P的半径是______．
(3)如图2，在钝角中，用直尺和圆规作出边关联的“极限内半圆”（保留作图痕迹，不写作法）；
(4)【迁移思考】小军发现，任意三角形的三条边上都可以作出与边关联的“极限内半圆”，但大小未必一样，请你帮助小军解决下面的问题：如图3，锐角中，边的长分别是，的面积为S，求出中最小“极限内半圆”的半径；（用中的一个或几个字母来表示）；
(5)【灵活运用】如图4，是锐角，且，点A在射线上，，点B是射线上一动点．在中，若边关联的“极限内半圆”的半径为r，当时，求的长的取值范围．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴分别交于点O、A，顶点为B，连接．点D在线段上，作射线，过点A作射线，垂足为点E，以点A为旋转中心把按逆时针方向旋转到，连接．

       

(1)求点A、B的坐标；
(2)随着点D在线段上运动．
①连接，的大小是否发生变化？请说明理由；
②延长交于点P，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)连接，当点F在该抛物线的对称轴上时，的面积为______．

【推荐2】问题发现．【发现】如图，已知等边，将直角三角板的角顶点任意放在边上点不与点、重合，使两边分别交线段、于点、．

(1)若，，，则______；
(2)求证：∽．
(3)【思考】若将图中的三角板的顶点在边上移动，保持三角板与边、的两个交点、都存在，连接，如图所示，问：点是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(4)【探索】如图，在等腰中，，点为边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点处其中，使两条边分别交边、于点、点、均不与的顶点重合，连接设，则与的周长之比为______用含的表达式表示．

【推荐3】如图1，在钝角中，，，点、分别为边、上的点，且，，将绕点逆时针方向旋转度．
       
(1)求的长；
(2)如图2，当时，连接．求证：；
(3)如图3，在旋转的过程中，直线交于点．
①______；
②将从图1位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．

【推荐2】如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连．

(1)当点在上运动时，
①求证：；
②求的大小．
(2)若，，则直接写出的长．

【推荐3】已知：点是边所在直线上的一个动点（点与点，不重合），，，连接，点绕点顺时针转得到点，连接，，．

(1)如图1，当点在线段的延长线上时，请你判断线段与线段之间的关系，并证明你判断的结论．
(2)如图2，当点在线段上，且时，直接写出四边形的面积．
(3)点绕点A逆时针转得到点，连接，，，当时，直接写出线段的长．

【推荐1】如图，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)N是抛物线对称轴上一点，当三角形为等腰三角形时，求N点的坐标．
(3)点D是边上一点，连接，将线段以O为旋转中心，逆时针旋转，得到线段，若点E落在抛物线上，求出此时点E的坐标；
(4)点M在线段上（与A，B不重合），点N在线段上（与B，C不重合），是否存在以C，M，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．