【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC＝∠C.
(1)求证：；
(2)若∠PBC＝22.5，⊙O的半径R＝2，求劣弧AC的长度．

【推荐2】如图，在中，是边上的高，以为直径的交于点F，交于点E，连结．

(1)求证：；
(2)若，的直径为5，，求的长．

【推荐3】如图，是圆的内接三角形，点在弦上，平分，．

(1)求证：平分；
(2)若为直径，且，，求的长．

【推荐2】如图，点A、B、C在上，．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）

(1)在图①中，作一个度数为的圆周角：
(2)如图2，为的外接圆，直线l与相切与点P，且，在图2中画出一条弦，使这条弦将分成面积相等的两部分．

【推荐3】某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：

数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．

【推荐1】人教版教材中的折纸活动，引起了许多同学的兴趣．在折纸的过程中，同学们不仅发展了空间观念，还积累了数学活动经验．
【操作】在矩形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为．

【发现】
(1)如图1，若点M，，E在同一条直线上，求证：为等腰三角形；
【探究】
(2)若点落在矩形对角线上，求的长；
【拓展】
(3)如图2，过点作，当面积最大时，请直接写出的长．

【推荐2】有这样一道题：已知：如图（1），点在内部，连，，，点，，分别在，，上，且，，．

（1）求证： ∽；
（2）若将这题图（1）中的点移到外，如图（2），其他条件不变，试   问：与有何关系？请你完成图（2），写出你的结论（不需证明）．

【推荐1】如图，已知是等边三角形，，点在上，，是的外角平分线，连接并延长与交于点．

(1)求的长；
(2)求的正切值．

【推荐2】已知是的直径．和是的两条切线，与相切于点E，分别交、于D、C两点．

(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接并延长交于点F，连接，若，，求图中阴影部分的面积．

【推荐3】如图，在上有位于直径的两侧的定点和动点，，点在半圆弧上运动不与、两点重合，过点作直线的垂线，垂足为点．

(1)如图，求证：；
(2)类比（1）中的情况，当点运动到什么位置时，？请在图中画出，并说明理由．
(3)如图，当点运动到某一位置时，有时，求的度数．