【推荐1】如图，已知△ABC是等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，AF=BD,以AD为边作等边ΔADE.
(1)求证:AE=CF;
(2)求∠BEF的度数.

【推荐2】如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF，
（1）求证 △ADE≌△CBF；
（2）请你添加一个条件，使四边形DEBF是矩形（不用证明）.

【推荐3】问题背景如图1，是等边三角形，点D为边上的一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作等边，连接直接写出线段与的数量关系是______，______．
   
尝试应用如图2，在中，，，点D为上的一动点（点D不与B，C重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由：
①的度数；
②线段，，之间的数量关系；
拓展创新如图3，在（2）的条件下，若D点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，，请直接写出的值为______．

【推荐1】婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古代印度著名数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等方面均有建树，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“古拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下：
古拉美古塔定理：如图①，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线，垂足为点E，并且交直线AD于点F．则．

证明：∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴．
又∵，∴，∴．
…
任务：
(1)将上述证明过程补充完整；
(2)古拉美古塔定理的逆命题：如图②，四边形ABCD内接于，对角线，垂足为点M，直线FM交BC于点E，交AD于点F．若，则．请证明该命题．

【推荐2】如图，四边形为一梯形纸片，∥，．翻折纸片，使点与点重合，折痕为．已知⊥，试说明：∥.

【推荐3】如图，等边的边长为4，为边上的中线，E为边上一点（不与B、C重合）．

(1)如图1，若，连接，求的长；
(2)如图2，若平分，求的长；
(3)如图3，连接，交于点M．以为边作等边，连接．请猜想、、之间的数量关系，并证明你的结论．

【推荐1】矩形的对角线交于点，在边上，连接并延长交边于点．若，，，求矩形的面积．

【推荐2】如图1，在中，，为的平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，．

(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，在（2）的条件下，是线段上的一点，连接并延长，交边于点是边上的一点，连接，，于点，交的延长线于点，若，求的长．

【推荐3】如图，阴影部分是一个正方形广场，规划将正方形的四边各延长一倍，即、、、，将M、N、P、Q四点连接，建成新的广场，试问建成的新广场是什么形状，并且它的面积是原广场的多少倍？

【推荐1】如图1，△ABC中，CA＝CB，，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．

(1)填空：∠CDE＝______（用含的代数式表示）；
(2)如图2，若，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；

【推荐2】P为等边内的一点，PA=10，PB=6，PC=8，将绕点B顺时针旋转到位置．

（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．

【推荐3】四边形是正方形，点P是平面上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，．

（1）如图①，当点P在正方形的边上时，求证：；
（2）如图②，当点P在正方形内时，与之间有怎样的关系？请说明理由；
（3）延长，交直线于点E．若四边形为正方形，，求线段的长．