【推荐1】【问题】
在中，，，点在直线上（除外），分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系.
【探究发现】
某数学兴趣小组在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是中点时，只需要取边的中点（如图1），通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
【数学思考】
那么点在直线上（除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？
请你从“点在线段上”“点在线段的延长线上”“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.
   

【推荐2】类比思想就是根据已经学习过的知识，类比探究新知识的思想方法．我们在探究矩形、菱形、正方形等问题中的数量关系时，经常用到类比思想．某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在中，点为直线上一动点(点不与重合)，以为边在右侧作正方形连接．
（1）【观察猜想】如图①，当点在线段上时；
①与的位置关系为：             ；
②之间的数量关系为：          ；(将结论直接写在横线上)
（2）【数学思考】如图②，当点在线段的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）【拓展延伸】如图③，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接．若已知请直接写出的长．(提示： ．过作于过作于于)

【推荐3】综合题．
（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试证明：CD=BE．

（2）如图2，在△ABC中，仍然有条件“AB=AC，点D，E分别在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB=180°，则CD与BE是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明．

【推荐1】综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，直线与y轴相交于点D，交线段于点E且．

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为，点P是该抛物线上位于第四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线上的动点，试探究是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，△ABC中，AC＝BC＝10 cm，AB＝12 cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2 cm，设运动时间为秒．
（1）求CD的长；
（2）当为何值时，△ADP是直角三角形？
（3）直接写出：当为何值时，△ADP是等腰三角形？
   

【推荐1】如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．

(1)求证：AF＝CE；
(2)猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；
(3)若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点C（3，0），顶点D（0，4），过点A作AF⊥y轴于F点，过点B作x轴的垂线交过A点的反比例函数y＝（k＞0）的图象于E点，交x轴于G点．
（1）求证：△CDO≌△DAF．
（2）求反比例函数解析式及点E的坐标；
（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．

【推荐3】实践与探究
情境：在正方形ABCD中，AB＝5，点F在AC上，且，过点F作EF⊥AC，交CD于点E，连接AE，AF．

(1)问题发现
图（1）中，线段AE与BF的数量关系是______；
直线AE与直线BF的夹角的度数是______．
(2)问题拓展
当△CEF绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，说明理由．
(3)问题延伸
在（2）的条件下，当点F到直线BC的距离为2时，直接写出AE的长．

【推荐1】已知：在如图所示的平面直角坐标系中，直线经过点，并且与y轴交于点C，点A在x轴正半轴上，且．

(1)求直线的解析式以及点A的坐标；
(2)连接、，求的余弦值；
(3)设直线交x轴于点E，问：在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图1，分别是的内角的平分线，过点 作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，如果，且，求；
（3）如果是锐角，且与相似，求的度数，并直接写出的值．

【推荐3】已知抛物线交x轴于、，交y轴于点C．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点P是第四象限内抛物线上的一点，交y轴于点D，连接，若，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接（如图②），在线段上是否存在点Q，使与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)在（2）的条件下，如图②，在y轴上有一点R，当时，请直接写出点R的坐标．