【综合与实践】
课本
页安排这样的数学活动：折纸作
角：如果我们身旁没有量角器或者三角尺，又需要做等大小的角，可以采用下面的方法：
动手操作：如图1，（1）对折矩形纸片
，使
与
重合，得到折痕
，把纸片展开；（2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折叠
，同时得到线段
．
观察猜想：图中等于
的角是： （写出一个角即可）；等于
的角是： （写出一个角即可）．
推理验证：任选以上一个猜想结论给予证明．
拓展延伸：将矩形纸片换成正方形纸片，按以上步骤折叠，并延长
交
于点Q，连接
得到图2，若正方形边长为6，
，直接写出
的长．
课本
页安排这样的数学活动：折纸作角：如果我们身旁没有量角器或者三角尺，又需要做等大小的角，可以采用下面的方法：动手操作：如图1，（1）对折矩形纸片
，使与重合，得到折痕，把纸片展开；（2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折叠，同时得到线段．观察猜想：图中等于
的角是： （写出一个角即可）；等于的角是： （写出一个角即可）．推理验证：任选以上一个猜想结论给予证明．
拓展延伸：将矩形纸片换成正方形纸片，按以上步骤折叠，并延长
交于点Q，连接得到图2，若正方形边长为6，，直接写出的长．
更新时间：2024-03-05 10:14:20
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【推荐1】已知：如图，
ABCD中， CD=CB=2，∠C=60°，点E是CD边上自D向C的动点（点E运动到点C 停止运动），连结AE,以AE为一边作等边△AEP，连结DP.
(1)求证：△ABE≌△ADP；
(2)点P随点E的运动而运动，请直接写出点P的运动路径长 .
ABCD中， CD=CB=2，∠C=60°，点E是CD边上自D向C的动点（点E运动到点C 停止运动），连结AE,以AE为一边作等边△AEP，连结DP.(1)求证：△ABE≌△ADP；
(2)点P随点E的运动而运动，请直接写出点P的运动路径长 .
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【推荐2】△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，过点A作直线MN，使MN∥BC，点D在直线MN上，作射线BD，将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E．
（1）如图①，当α＝60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．
（2）如图②，当α＝45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．
（3）当α＝30°时，若点D在射线AM上，∠ABE＝15°，AD＝
﹣1，请直接写出线段AE的长度．
（1）如图①，当α＝60°，且点D在射线AN上时，直接写出线段AB，AD，AE的数量关系．
（2）如图②，当α＝45°，且点D在射线AN上时，直写出线段AB、AD、AE的数量关系，并说明理由．
（3）当α＝30°时，若点D在射线AM上，∠ABE＝15°，AD＝
﹣1，请直接写出线段AE的长度．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐3】【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在
中，
，
；
中，
，
），并提出了相应的问题
(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段
上时，过点A作
，垂足为点M，过点C作
，垂足为点N，易证
，若
，
，则
______；
(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段
上且顶点A在线段上时，过点C作
，垂足为点P，猜想
，
，
的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若
，
，连接
，则
的面积为______．
中，，；中，，），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段
上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段
上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段
上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______．
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【推荐1】小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图
，在
中，
是
的中点，直线
于点
，则可以得到
＝
，请证明此结论．
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图
，古希腊数学家阿基米德发现，若
、
是的折弦，是
的中点，
于点．则
．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取
，连接
、
、
、
…请你按照小明的思路完成证明过程．
(3)如图
，已知等边三角形
内接于，＝，点
是
上的一点，
＝
，
于点，则
的周长为_________．
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多新的发现．如图
，在中，是的中点，直线于点，则可以得到＝，请证明此结论． (2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，称为该圆的一条折弦．如图
，古希腊数学家阿基米德发现，若、是的折弦，是的中点，于点．则．这就是著名的“阿基米德折弦定理”．那么如何来证明这个结论呢？小明的证明思路是∶在上截取，连接、、、…请你按照小明的思路完成证明过程． (3)如图
，已知等边三角形内接于，＝，点是上的一点，＝，于点，则的周长为_________．
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(0.4)
【推荐2】四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
，连接，
为的中点，连接
．
（1）如图1，若点在
边的延长线上，直接写出
与
的位置关系及
的值．
（2）将图1中的绕点
顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中的绕点顺时针旋转
，若
，当
三点共线时，请直接写出的长．
是正方形，是等腰直角三角形，，连接，为的中点，连接．（1）如图1，若点
在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值．（2）将图1中的
绕点顺时针旋转至图2所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）将图1中的
绕点顺时针旋转，若，当三点共线时，请直接写出的长．
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中，
，
，点E为直线
，
且
，求
于G，延长
交
，求证：
；
的中点，连接
，当
时，请求出
解答题-问答题
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(0.4)
名校
【推荐1】如图，在矩形中，
．将矩形沿
折叠，使点A落在
边上的点E处，得到四边形
，
交于点H，连接，．
(1)与间的位置关系为 ；
(2)猜想与间的数量关系，并说明理由；
(3)若
，
，求的长．
中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形
，交于点H，连接，． (1)
与间的位置关系为 ；(2)猜想
与间的数量关系，并说明理由；(3)若
，，求的长．
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较难
(0.4)
【推荐2】菱形的对角线
相交于点O，
，点G是射线
上一个动点，过点G作
交射线
于点E，以
为邻边作矩形
．
上时，求证：
；
(2)若延长与边交于点H，将
沿直线翻折
得到
．
①如图②，当点M在上时，求证：四边形为正方形；
②如图③，当
为定值m时，设
，k为大于0的常数，当且仅当
时，点M在矩形的外部，求m的值．
的对角线相交于点O，，点G是射线上一个动点，过点G作交射线于点E，以为邻边作矩形．
上时，求证：；(2)若延长
与边交于点H，将沿直线翻折得到．①如图②，当点M在
上时，求证：四边形为正方形；②如图③，当
为定值m时，设，k为大于0的常数，当且仅当时，点M在矩形的外部，求m的值．
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(0.4)
名校
【推荐3】数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图1所示的长方形纸条，其中
，
．然后在纸条上任意画一条截线段，将纸片沿折叠，
与
交于点
，得到
．如图2所示：
探究：
（1）若
，
______°；
（2）改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由；
应用：
（3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现
边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出
的面积最小值为
，此时
的大小可以为______°；
（4）小明继续动手操作，发现了面积的最大值．请你求出这个最大值．
，其中，．然后在纸条上任意画一条截线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图2所示：探究：
（1）若
，______°；（2）改变折痕
位置，始终是______三角形，请说明理由；应用：
（3）爱动脑筋的小明在研究
的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______°；（4）小明继续动手操作，发现了
面积的最大值．请你求出这个最大值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在四边形ABCD中，
，∠ADC＝90°，BC＝8cm，AD＝CD＝10cm，点E从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点F从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s．过点E作EH⊥AD，垂足为H，EH与AC相交于点G，连结FG．设运动时间为t(s)(
)，解答下列问题：
(1)求DH的长度(用含t的代数式表示)；
(2)当
CEG≌AHG时，求t的值；
(3)设四边形CDFG的面积为S(
)，求S与t之间的关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以点B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
，∠ADC＝90°，BC＝8cm，AD＝CD＝10cm，点E从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点F从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为3cm/s．过点E作EH⊥AD，垂足为H，EH与AC相交于点G，连结FG．设运动时间为t(s)()，解答下列问题：(1)求DH的长度(用含t的代数式表示)；
(2)当
CEG≌AHG时，求t的值；(3)设四边形CDFG的面积为S(
)，求S与t之间的关系式；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以点B，E，F，H为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1，正方形中，
为对角线，点P在线段上运动，以
为边向右作正方形
，连接；
(1)则
与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________；
(2)点P在线段及其延长线上运动时，探究线段，
和三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)当点P在对角线的延长线上时，连接，若
，求四边形
的面积．
中，为对角线，点P在线段上运动，以为边向右作正方形，连接；(1)则
与的数量关系是___________，与的夹角度数为_________；(2)点P在线段
及其延长线上运动时，探究线段，和三者之间的数量关系，并说明理由；(3)当点P在对角线
的延长线上时，连接，若，求四边形的面积．
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，
，
于点
，
∥
于点
，交
的度数．
