问题提出：
（1）如图，在
中，
，⊙O半径为1，点
是⊙O上的动点．则到
的最小值为 ；
问题探究：
（2）如图，在正方形
中，找出所有的点，使得
；
（3）问题解决：
如图，有一个矩形水池，已知
．设计者想把水池分为四部分，分别是三角形
，三角形
，三角形
，三角形
．满足
，点
在
上，
为
上的任意一点．若三角形区域养鱼，其他区域养虾．已知养鱼每平方米1000元，养虾每平方米800元．请问花费的最少费用是多少？
（1）如图，在
中，，⊙O半径为1，点是⊙O上的动点．则到的最小值为 ；问题探究：
（2）如图，在正方形
中，找出所有的点，使得；（3）问题解决：
如图，有一个矩形水池
，已知．设计者想把水池分为四部分，分别是三角形，三角形，三角形，三角形．满足，点在上，为上的任意一点．若三角形区域养鱼，其他区域养虾．已知养鱼每平方米1000元，养虾每平方米800元．请问花费的最少费用是多少？
更新时间：2024-03-20 12:17:43
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较难
(0.4)
【推荐1】（1）如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，∆ABC 的三个顶点均在格点上．现将∆ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90°，点 B 的对应点为B′，点 C 的对应点为C′， 连接 BB′，如图所示则∠AB′B＝ ．
（2）如图 2，在等边∆ABC 内有一点 P，且 PA＝2，PB＝
，PC＝1，如果将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度数和 PP′的长；
（3）如图3，在
中，
，
，
，点O为内一点，连接AO，BO，CO，且
，求
的值．
（2）如图 2，在等边∆ABC 内有一点 P，且 PA＝2，PB＝
，PC＝1，如果将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 60°得出△ABP′，求∠BPC 的度数和 PP′的长；（3）如图3，在
中，，，，点O为内一点，连接AO，BO，CO，且，求的值．
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
【推荐2】据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为
．
(1)观察：
“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；
(2)联想：
如图2，在
中，
，
，
平分
交于点
，则
_______；
(3)迁移：
图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心 ，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔 ．（不写作法，保留作图痕迹）
．(1)观察：
“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；
(2)联想：
如图2，在
中，，，平分交于点，则_______；(3)迁移：
图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺
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分别在边
上，
，线段
交于点
求证：
连接
时，求证：
.
解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】已知
和
都是等腰直角三角形，
，
是
的中点．
(1)如图1，若点
与
重合，在
，延长线上时，求
，
的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若点与A重合，且点
，，在同一直线上，连接
，当
，求的长．
和都是等腰直角三角形，，是的中点．(1)如图1，若点
与重合，在，延长线上时，求，的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若点
与A重合，且点，，在同一直线上，连接，当，求的长．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点
，点
，且a、b满足
．的面积；
(2)若在x轴上存在点P，使
，求
的面积；
(3)动点C在x轴上，连接，将线段绕点B逆时针旋转
至，连接
，求线段的最小值．
分别交x轴、y轴于点，点，且a、b满足．
的面积；(2)若在x轴上存在点P，使
，求的面积；(3)动点C在x轴上，连接
，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，求线段的最小值．
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】（1）如图1，已知，
内有一点M，过点M作直线交AP于点C．交PB于点D．使得
是等腰三角形，且满足
，请你画出符合要求的直线CD，并说明理由．
（2）如图2，已知AD是的角平分线，
，
，若
，
，请你求出面积的最小值．
（3）近几年，“点亮工程”让西安市成为全国著名的打卡城市，西安市的各个小区纷纷点亮了自己的上空．西安市某小区外围护栏形状如图3所示的四边形ABCD，已知
，
，
，
米，
米，
米，
米，E点是小区内的观赏亭，且E点恰好在
的角平分线上，
米．现要过点E架线分别交AB边和AD边于点F和G，再架线CF和CG．小区计划在AF，AG，GF以及GC和CF五条边上都使用LED高效节能照明灯具点亮小区，并将
区域作为花灯区．为了在亮化和美化的同时，既不影响居民的正常生活，也不占用过多的活动区域，要求的面积最小．请问，是否存在满足条件的F和G点？如果存在，请你求出所有灯带的长度之和，即
的长；如果不存在，请说明理由．
内有一点M，过点M作直线交AP于点C．交PB于点D．使得是等腰三角形，且满足，请你画出符合要求的直线CD，并说明理由．（2）如图2，已知AD是
的角平分线，，，若，，请你求出面积的最小值．（3）近几年，“点亮工程”让西安市成为全国著名的打卡城市，西安市的各个小区纷纷点亮了自己的上空．西安市某小区外围护栏形状如图3所示的四边形ABCD，已知
，，，米，米，米，米，E点是小区内的观赏亭，且E点恰好在的角平分线上，米．现要过点E架线分别交AB边和AD边于点F和G，再架线CF和CG．小区计划在AF，AG，GF以及GC和CF五条边上都使用LED高效节能照明灯具点亮小区，并将区域作为花灯区．为了在亮化和美化的同时，既不影响居民的正常生活，也不占用过多的活动区域，要求的面积最小．请问，是否存在满足条件的F和G点？如果存在，请你求出所有灯带的长度之和，即的长；如果不存在，请说明理由．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】如图，中，
，
，以为直径的
交斜边
于点D．
（1）如图1，若M是的中点，求证：
是的切线；
（2）如图2，设E是延长线上一动点，
交于点F，
交于点G，连接
．
（ⅰ）若
，求和的长；
（ⅱ）求
的最大值为______________．（直接写出结果）
中，，，以为直径的交斜边于点D．（1）如图1，若M是
的中点，求证：是的切线；（2）如图2，设E是
延长线上一动点，交于点F，交于点G，连接．（ⅰ）若
，求和的长；（ⅱ）求
的最大值为______________．（直接写出结果）
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图1：在中，
，
，为边上一点（不与点，重合），试探索，，
之间满足的等量关系，并证明你的结论．
小明同学的思路是这样的：将线段绕点逆时针旋转
，得到线段，连接
，
．继续推理就可以使问题得到解决．
(1)请根据小明的思路，探索线段，，满足的等量关系，并证明结论；
(2)如图2，在中，，，为外的一点，且
，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
(3)如图3，已知是的直径，点，是上的点，且，连接，，
①若
，
，求弦的长为 ；
②若
，求
的最大值．
中，，，为边上一点（不与点，重合），试探索，，之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段
绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．继续推理就可以使问题得到解决．(1)请根据小明的思路，探索线段
，，满足的等量关系，并证明结论；(2)如图2，在
中，，，为外的一点，且，线段，，之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；(3)如图3，已知
是的直径，点，是上的点，且，连接，，①若
，，求弦的长为 ；②若
，求的最大值．
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，
．
，求
；
；
，求四边形
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，已知是的直径，与相切于点，的弦
，连接
交
于点，延长与交于点，连接
．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：
；
(3)若
，
，求
的值．
是的直径，与相切于点，的弦，连接交于点，延长与交于点，连接． (1)求证：
是的切线；(2)求证：
；(3)若
，，求的值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图所示，在中，点D是BC中点，点E是AC延长线上一点，连接BE、AD．
(1)如图1，若是等边三角形，点C是AE中点，若
，求BE的长．
(2)如图2，过点C作
，交AD的延长线于点F，若
，
；
①，求证：
；
②如图3，若
，求
．
中，点D是BC中点，点E是AC延长线上一点，连接BE、AD．(1)如图1，若
是等边三角形，点C是AE中点，若，求BE的长．(2)如图2，过点C作
，交AD的延长线于点F，若，；①
，求证：；②如图3，若
，求．
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，
于点E，
于点F．
于点M、N，求证：
；
以点D为旋转中心旋转，其两边
分别与直线
相交于点G、P，连接
，当
的面积等于
时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
