【推荐1】如图，在矩形中，，点为上一点，过点作于点，连接交于点．

(1)若点恰好为的中点时
①求证：是直角三角形；
②若，求的值；
(2)若，延长与交于点，直接写出的最小值．

【推荐2】已知四边形是边长为1的正方形，点E是边上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形与分别相交于点P、Q，连接，过点A作，垂足为点M，过点P作，垂足为点N，设．

(1)求的长；
(2)用含有m的代数式表示；
(3)用含有m的代数式表示，并求的最大值．

【推荐3】已知满足，，直角顶点在轴上，一锐角顶点在y轴上．
   
(1)如图①若于垂直x轴，垂足为点．点坐标是，点的坐标是，且满足，请直接写出a、b的值以及点的坐标．
(2)如图②，直角边在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分，与y轴交于点，过点作轴于，请猜想与有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并求出定值.

【推荐1】如图1，已知等边ABC边长为4cm，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．连接AQ、CP交于点M．

(1)求证：ABQ≌CAP；
(2)在整个运动过种中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)连接PQ，何时PBQ是直角三角形？
(4)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，求∠CMQ的度数．

【推荐3】已知，如图1，在中，，．点D是的中点，点E在延长线上，且．保持不动，将从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转得到、D，E的对应点分别为、．

(1)求证：；
(2)如图2，当点落在边上时，连接，判断此时四边形的形状，并说明理由；
(3)在旋转过程中，当时，请直接写出此时旋转角的度数及B，两点间的距离．

【推荐2】如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为，与相交于点，连结．设运动时间为．解答下列问题：

(1)求的长度（用含的代数式表示）；
(2)当时，求的值；
(3)设四边形的而积为，求与之间的关系式；
(4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】综合与实践：
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．

探究发现：如图1，在中，．

（1）操作发现 ：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，
①_________，
②设，则_________（用含的式子表示）；
（2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．请你在（1）的条件下，证明：．
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．
如图1中的是黄金三角形．
如图2，在菱形中，，则菱形较长对角线的长_________．

【推荐1】如图，锐角内接于，的平分线交于点，交于点，连接，，过点作的垂线交于点，点在上，连接，，若且．

(1)求证：；
(2)求的度数；
求证：；
(3)如图，延长交于点，若且恰好等于，求线段的长．

【推荐2】如图，在等腰三角形中， ，以为直径的交于点，交于点，过点作的切线，交于点，连接

（1）求证：；
（2）填空
①若，则的长为         ；
②当的度数为          时，四边形为菱形．