【推荐1】已知如图，为正方形的边上任意一点，于点，在的延长线上取点，使，连接，的平分线交于点．

(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)如图，若正方形的边长为，连接，当点为的中点时，求的长．

【推荐2】如图，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，以AB为直径的⊙O交AC于E，延长DE交BC于F，∠ABC＝∠ADE＝90°．

(1)证明：DF是⊙O的切线．
(2)若OA＝4，CF＝3，求cos∠DAE的值．

【推荐3】问题情境
如图，在和中，， ，，点，，在同一条直线上，连接．

探究发现：
(1)善思组发现：，请你帮他们写出推理过程；
(2)钻研组受善思组的启发，在（）的基础上发现了与的数量关系，请你写出结论并加以证明．
(3)拓展探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试探究、、之间有怎样的数量关系？创新组类比善思组的发现，很快证出，进而得出，请你写出、、之间的数量关系，并帮创新组完成后续的证明过程．

【推荐1】如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变．
   
观察：线段由旋转得到，即．
那么_________，________；
发现：，请证明这一结论；
计算：已知，，若恰好经过原矩形边的中点．求与之间的距离．

【推荐2】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．

【推荐3】【初步探究】
（1）把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空：       （“”或“”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为      ．

【推荐1】已知:如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，垂足分别为E，F．且BE=CF．

求证：平行四边形ABCD是矩形．

【推荐2】如图，在中，，点，，分别在边，，上， ，，．求四边形的周长．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．

(1)求证：AE＝CF；
(2)若AE＝1，EF＝2，BE＝3，求BC的长．

【推荐1】如图所示，中，是中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．请从以下三个条件：①；②；③是的中点，选择一个合适作为已知条件，使四边形为矩形．
   
(1)你添加的条件是             ；（填序号）
(2)添加条件后，请证明四边形为矩形．

【推荐2】下面是小李同学设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点．
求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO＝BO．
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形．
根据小李设计的尺规作图过程：

(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形．（保留作图痕迹）
(2)请你根据小李同学的作法，说明四边形ABCD为矩形的理由．

【推荐3】如图，在中，对角线交于点，且．

（1）求证：是矩形；
（2）点在延长线上，且连接求证：．