【推荐1】如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的速度都是每秒1个单位，连接．设点运动的时间为秒

   

(1)当为何值时，四边形是矩形；
(2)当时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)当为何值时，；
(4)整个运动当中，直接写出线段扫过的面积是多少？

【推荐3】如图，矩形中，对角线，相交于点，且，．动点从点出发，沿折线以每秒的速度向点运动，同时动点从点出发，沿折线以每秒的速度向点运动，点到达点时，点，同时停止运动．连接，，．设的面积为（这里规定：线段是面积为0的几何图形），点的运动时间为．

(1)填空：　 　；
(2)当时，求与之间的函数解析式；
(3)过，两点的直线把矩形的面积分成两部分时，直接写出的值．

【推荐2】如图1，在边长为1的正方形中，E、F是边上的两个动点，且满足，连接、、，与交于点G，连接交于点H，连接．

(1)求证：．
(2)求线段的最小值．
(3)如图2，若E、F重合时，延长交于M，与交于点N，求的值．

【推荐3】在正方形中，是边上一点（不与点，重合），作点关于的对称点，连接．

(1)如图1，连接、，若，求证：；
(2)如图2，连接，， 作于点，、分别为、的中点， 连接，．
①求的大小；
②猜想线段与的关系，并证明．

【推荐1】某数学学习小组在复习线段垂直平分线性质时，提出了以下几个问题，请你帮他们解决：
[数学理解]
(1)点是线段垂直平分线上的一点，则的值为      ；
[拓展延伸]
(2)在平面直角坐标系中，点， 点在轴上，且， 则点的坐标为     ．
(3)经小组探究发现，如图，延长线段到点，使，以点为因心，长为半径作园，则对于上任一点，都有，请你证明这个结论：

[问题解决]
(4)如图，某人乘船以25千米/时的速度沿一笔直的河从码头到码头，再立即坐车沿一笔直公路以75千米/时的速度回到住处，已知乘船和坐车所用的时间相等请在河边上确定码头的位置．(请画出示意图并简要说明理由)

【推荐3】（1）如图，四边形是正方形，点、分别是边、上的点，连接线段、、，45°，绕点按顺时针方向旋转90°得，点在的延长线上．试说明；

（2）如图，四边形是菱形，点、分别是边、上的点，连接线段、，120°，30°，试说明；

（3）如图，若菱形的边长为，点在的延长线上，，120°，30°，求线段的长．

【推荐3】如图，在中，是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，连接，，半径交于点F，交于点G，连接交于点N．

(1)求证：；
(2)若，，求的值；
(3)在（2）的条件下，求的长．