【推荐1】已知：点为直线上一点， ，射线平分，设．

（1）如图①所示，若，则　　　　 ．
（2）若将绕点旋转至图②的位置，试用含的代数式表示的大小，并说明理由；
（3）若将绕点旋转至图③的位置，则用含的代数式表示的大小，即　　　　．
（4）若将绕点旋转至图④的位置，继续探究和的数量关系，则用含的代数式表示的大小，即　　　　 ．

【推荐2】如图1，如图点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边在线段上，．

(1)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______；猜想与的数量关系为______；
(2)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？
(3)将图1中的三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？

【推荐3】【概念学习】
我们知道：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．我们规定：如果两条射线把一个角分成三个相等的角，这两条射线都叫做这个角的角三分线．如图1，在中，若，则、叫的角三分线．其中是“邻角三分线”，是“邻角三分线”．
【概念理解】
（1）如图2，在中，，，若的角三分线交于点D，则______．
【概念应用】
（2）如图3，在中，、分别是邻角三分线和邻角三分线，若，求的度数．
（3）在中，是的外角，的角三分线与的角三分线交于点P，若，，请直接写出分类情况和相应的的度数．
   

【推荐1】已知ABCD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F．
（1）若点E的位置如图1所示．
①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F=        °；
②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论；
（2）若点E的位置如图2所示，∠F与∠BED满足的数量关系式是        ．
（3）若点E的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且，设∠F=α，则α的取值范围为        ．

【推荐2】（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=50°，∠ABC=40°，求∠AEC的度数；
   
（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α°，∠ABC=β°，求∠AEC的度数；
（3）如图3，PQ⊥MN于点O，点A是平面内一点，AB、AC交MN于B、C两点，AD平分∠BAC交PQ于点D，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．

【推荐3】根据题意解答：

(1)如图1，点、、、在同一直线上，平分，，若为度，求的度数（用关于的代数式表示），并说明理由．
(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，地面，地面，求的度数，并说明理由．
(3)如图3，若，，，则__________度．

【推荐1】如图，，.
(1)请判断和位置关系，并说明理由；
(2)的平分线与的平分线交于，求的度数.
(3)在(2)的条件下，是线段上任意一点(不同于、)，作交于，作与的平分线交于点，求的度数.
      

【推荐2】在中，，点、分别是边、上的点，点是一动点，令，，．

   
(1)若点 P 在线段上，如图①且，则     
(2)若点P 在边上运动，如图①，则，，之间有何关系?并说明理由．
(3)若点P 运动到边的延长线上，如图②，则，，之间有何关系?猜想 并说明理由．
(4)若点P 运动到外，如图③，则，，之间的关系为        ．

【推荐3】【综合运用】如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点，连并延长交于点．
   
(1)求证：；
(2)求证：为的中点；
(3)已知，求的大小（用含的式子表示）．