【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
   
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　　；若∠B＝80°，则∠NMA的度数是　　；
（2）你认为∠B与∠NMA有怎样的数量关系？说出你的理由；
（3）连接MB，若AB＝10cm，△MBC的周长是18cm．求BC的长；
（4）点Q是BC边上的一个动点，在直线MN上是否存在点P，使PB+PQ的和最小？若存在请标出点P的位置并加以说明；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，已知在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分线与AB边的垂直平分线相交于点D，DE⊥AC，DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别是E，F，G.
(1)求证：AE＝BF；
(2)求AE的长．

【推荐3】如图，将绕点B逆时针旋转后得到，的延长线与相交于点F，连接，若，点E在线段上，．

(1)求证：；
(2)若，求的长

【推荐1】如图，在中，的垂直平分线分别交，及的延长线于点D，E，F，且．

(1)求证：；
(2)若，求的长．

【推荐2】根据以下素材，探索完成任务．
【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂．

【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离．
【素材3】参考数据：，，，．
【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到）
【任务2】求长．

【推荐3】如图，矩形的对角线，交于点，于，，.

（1）求的长.
（2）求矩形的面积.

【推荐1】如图1，正方形ABCD中，AB＝5，点E为BC边上一动点，连接AE，以AE为边，在线段AE右侧作正方形，连接CF、DF．设．(当点E与点B重合时，x的值为0)，．小明根据学习函数的经验，对函数随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)通过取点、画图、测量、观察、计算，得到了x与y₁、y₂的几组对应值；

x	0	1	2	3	4	5
	5.00	4.12		3.61	4.12	5.00
	0	1.41	2.83	4.24	5.65	7.07

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数y₁，y₂的图象；
(3)结合函数图象2，解决问题：当△CDF为等腰三角形时，BE的长度约为　 　cm．

【推荐2】如图，O为菱形ABCD对角线的交点，M是射线CA上的一个动点（点M与点C、O、A都不重合），过点A、C分别向直线BM作垂线段，垂足分别为E、F，连接OE，OF．

（1）①依据题意补全图形；
②猜想OE与OF的数量关系为_________________.       
（2）小东通过观察、实验发现点M在射线CA上运动时，（1）中的猜想始终成立．
小东把这个发现与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明（1）中猜想的几种想法：
想法1：由已知条件和菱形对角线互相平分，可以构造与△OAE全等的三角形，从而得到相等的线段，再依据直角三角形斜边中线的性质，即可证明猜想；
想法2：由已知条件和菱形对角线互相垂直，能找到两组共斜边的直角三角形，例如其中的一组△OAB和△EAB，再依据直角三角形斜边中线的性质，菱形四边相等，可以构造一对以OE和OF为对应边的全等三角形，即可证明猜想．
……
请你参考上面的想法，帮助小东证明（1）中的猜想（一种方法即可）．
（3）当∠ADC=120°时，请直接写出线段CF，AE，EF之间的数量关系是_________________．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，，的平分线BF交CE于点G，交CD于点F．

(1)如图1，若点E为AD中点，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，若，DF＝4，求的值．

【推荐1】如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F.

（1）求证：△EBC∽△CDF；
（2）若BC＝8，CD＝3，AE＝1，求AF的长．

【推荐3】如图，以为直径的上有两点，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且，过点作平分交于点，交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，且，求的长．