【推荐1】如图1，与都是等腰直角三角形，直角边，在同一条直线上，点、分别是斜边、的中点，点为的中点，连接，，，，．

（1）观察猜想：
图1中，与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：
将图1中的绕着点顺时针旋转，得到图2，与、分别交于点、，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把绕点任意旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

【推荐2】定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，AN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，求BN的长；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？　 　（直接回答：“是”或“不是”）若是说明理由，当AM＝2，MN＝4，则BN＝　 　．

【推荐3】如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE，点F是BE上一点，连接CF．
（1）如图1，若∠ECD＝30°，BC＝4，DC＝2，求tan∠CBE的值；
（2）如图2，若BC＝EC，过点E作EM⊥CF，交CF延长线于点M，延长ME、CD相交于点G，连接BG交CM于点N且CM＝MG，
①在射线GM上是否存在一点P，使得△BCP≌△ECG？若存在，请指出点P的位置并证明这对全等三角形；若没有，请说明理由．
②求证：EG＝2MN．

【推荐1】如图，已知CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点M，点P是上一点，且∠BPC＝60°．
（1）证明△ABC是等边三角形；
（2）若DM＝2，求⊙O的半径．

【推荐2】问题背景：如图1设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．

简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝　　°．
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝　　．
拓展延伸：（3）如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．
（4）若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．

【推荐1】如图，已知在直角，分别以为直径作半圆，面积分别记为，若，则的长度是多少？

【推荐2】如图，直线经过矩形的对角线的中点，分别与矩形的两边相交于点、.

(1)求证：；
(2)若，则四边形是______形，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若，，求的面积.

【推荐3】如图所示， △ABC是直角三角形，∠A=90°，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的动点,且DE⊥DF．

(1)如图(1)，连接AD，若AB=AC=17，CF=5，求线段EF的长．
(2)如图(2)，若AB≠AC，写出线段EF与线段BE，CF之间的等量关系，并写出证明过程．

【推荐2】如图，矩形纸片ABCD，DC＝8，AD＝6.
(1)如图(1)，点E在边AD上且AE＝2，以点E为顶点作正方形EFGH，顶点F，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接CG，求∠HCG的度数；
(2)请从A、B两题中任选一题解答，我选择_____.
A.如图(2)，甲同学把矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形MPNQ，判断并说明四边形MPNQ的形状.
B.如图(3)，乙同学把(1)中的“正方形EFGH”改为“菱形EFGH”，其余条件不变，此时点G落在矩形ABCD的外部，已知△CGH的面积是4，求菱形EFGH的边长及面积.
          

【推荐3】如图，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点，是的中点，连接，，．

求证：四边形是菱形；
若，如图所示：
①求证：；
②若，求的度数．