【推荐1】【问题背景】如图，在与中，若，，．求证：；
【尝试运用】如图，在和中，，，，，延长交于点．求证：为的中点；
【拓展创新】如图，在中，，，边上的高为，点是直线上一动点，连接、在直线的右侧作等边，连接，则的最小值__________．

【推荐2】如图，已知ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A向C点以4cm/s的速度运动．
（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，BPD与CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．

【推荐1】对于平面直角坐标系中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离．例如：点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为，所以点P的最大距离为4．

(1)①点的最大距离为______；
②若点的最大距离为3，则a的值为______；
③若点的最大距离为2，则a的值为______；
(2)若点C在直线上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；
(3)若上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出的半径r的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系 中， 对于点 和图形，给出如下定义：若图形 上存在点 ，使点 绕点 顺时针旋转 后得到点 ，称点 为点 关于图形 的“旋转点”．特别地，若点 与点 重合，则 点 也是点 关于图形 的 “旋转点”．

如图 1 ，点 ．
(1)在点 中， 是点关于 轴的“旋转点”的是       ；
(2)若上存在点 关于 轴的“旋转点”，求 的半径 的取值范围．
(3)如图 2 ， 的半径为 时， 已知点， 以线段 为边在 x 轴上方作正方形．   若正方形 上存在点 关于的“旋转点”，直接写出符合题意的 的取值范围．

【推荐3】阅读下面材料：
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖.
例如：图1中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.

回答下列问题：
(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______ cm;
(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm;
(3)长为2 cm，宽为1 cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm.这两个圆的圆心距是_____ cm.．

【推荐3】如图，中，以边上一点为圆心作圆，与边、分别切于点、，与另一交点为．

（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长．