1 . 如图，在
中，利用尺规作图法求作
，使得与
的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）
中，利用尺规作图法求作，使得与的交点C到点O的距离最短．（不写作法，保留作图痕迹）
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2 . 如图，点
、
，以点
为圆心
为半径作
交
轴于
两点，点
为上一动点，连接
，取中点
，连接
，则
的最大值为_____ ．
、，以点为圆心为半径作交轴于两点，点为上一动点，连接，取中点，连接，则的最大值为
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3 . 如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线
的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为
，高
为
．右侧的四根立柱在拱线上的端点，
，
，
的相关数据如下表所示．
所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆；
(2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）．
和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为，高为．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示．点 | 点 | 点 | 点 | |
距 | 4 | 5 | 6 | 7 |
距 | 4.125 | 3.000 | 1.625 | 0 |
）为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分．根据以上信息，解答下列问题：
(1)选取拱线
上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆；(2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线
上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）．
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名校
4 . 【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程
的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点
，
，以为直径作
．若交x轴于点
，
，则m，n为方程的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，
，
，
，在
中，
，所以
，化简得：
.同理可得
所以m，n为方程的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程
两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点，
，以为直径作
．判断与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点
，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根．【自主探究】（1）由勾股定理得，
，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程
的两个实数根．【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程
两根为横坐标的点M，N．（3）已知点
，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由．【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点
，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
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2023-11-28更新
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129次组卷
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3卷引用：江苏省连云港市海州区新海实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
江苏省连云港市海州区新海实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）清单04 与一元二次方程有关的动点问题 （7种题型解读（25题））-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）
5 . 如图，在
中，
，
平分
，
(1)在边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若
，求的半径．
中，，平分， (1)在
边上找一点O，以点O为圆心，且过A、D两点作（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，若
，求的半径．
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名校
6 . 已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
| A．0个 | B．1个 | C．2个 | D．无数个 |
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2022-07-21更新
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522次组卷
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3卷引用：山东省滨州市邹平市、博兴县2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题
真题
7 . 点A是半径为2
的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．
（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．
解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，
∴ （SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 ．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．
的⊙O上一动点，点B是⊙O外一定点，OB＝6．连接OA，AB．（1）【阅读感知】如图①，当△ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整．
解：将线段OB绕点B顺时针旋转60°到O′B，连接OO′，CO′．
由旋转的性质知：∠OBO′＝60°，BO′＝BO＝6，即△OBO′是等边三角形．
∴OO′＝BO＝6
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC＝60°，AB＝BC
∴∠OBO′＝∠ABC＝60°
∴∠OBA＝∠O′BC
在△OBA和△O′BC中，
∴ （SAS）
∴OA＝O′C
在△OO′C中，OC＜OO′+O′C
当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC＝OO′+O′C
即OC≤OO′+O′C
∴当O，O′，C三点共线，且点C在OO′的延长线上时，OC取最大值，最大值是 ．
（2）【类比探究】如图②，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；
（3）【理解运用】如图③，当△ABC是以AB为腰，顶角为120°的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时△ABC的周长．
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8 . 如图，抛物线
交
轴于点
和点
，交轴于点．已知点的坐标为
，点
为第二象限内抛物线上的一个动点，连接
．
（1）求这个抛物线的表达式．
（2）点为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形
面积的最大值．
（3）①点在平面内，当
是以
为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标；
②在①的条件下，点在抛物线对称轴上，当
时，求出满足条件的所有点的坐标．
交轴于点和点，交轴于点．已知点的坐标为，点为第二象限内抛物线上的一个动点，连接．（1）求这个抛物线的表达式．
（2）点
为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值．（3）①点
在平面内，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点的坐标；②在①的条件下，点
在抛物线对称轴上，当时，求出满足条件的所有点的坐标．
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9 . 已知点
是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为
，点所表示的实数为
，作以为圆心，
为半径的
，若点在外，则的值可能是（）.
是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）.A． | B． | C． | D． |
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10 . 如图，已知抛物线
过点
、顶点为，一次函数
的图像交轴于点
是抛物线上一点，点关于
的对称点恰好落在抛物线的对称轴上，对称轴与轴交于点
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求点、的坐标；
（3）连接
，若平面内关于的对称点为
，求
面积的最大值．
过点、顶点为，一次函数的图像交轴于点是抛物线上一点，点关于的对称点恰好落在抛物线的对称轴上，对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的表达式；
（2）求点
、的坐标；（3）连接
，若平面内关于的对称点为，求面积的最大值．
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