【推荐1】在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，数学家们往往是这样来研究问题的：特值探究——猜想归纳——逻辑证明——总结应用，下面我们来像数学家们那样分四步找出线段之间的关系．
问题呈现：如图1，已知在中，，，于点D．点E为线段CD上一动点，过点E作垂足为点H．连接，将线段绕点H顺时针转90°得线段到，则，，连接．（提示：含45°角的直角三角形是等腰直角三角形）
   
(1)特值探究：
①如图2，当点E与点D重合时，点F与点______重合，观察此时与的关系；
②如图3，当点E运动至中点时，观察此时与的关系；
(2)猜想归纳：线段与线段的数量关系是______，位置关系是______；
(3)逻辑证明：借助图1，探究线段与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
(4)总结应用：若，利用你的发现，直接写出点C与点F之间的最小距离．

【推荐3】对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．

(1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为正方形”是真命题还是假命题？
(2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，，，取的中点，连接并延长交于点．探究：四边形是否是奇特四边形，如果是证明你的结论，如果不是请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若四边形的面积为，则的值是多少？

【推荐1】在平面直角坐标系中，有如下定义：对于图形、，若存在常数d，使得图形上的任意一点P，在图形上至少能找到一个点Q，满足，则称图形是图形的“映图”，d是关于的“映距”．
(1)如图，点，，，，，，，．

在线段，，中，线段的映图是______．
(2)的半径为1．
①求关于直线的“映距”的最小值；
②若直线被坐标轴所截的线段是的映图，直接写出m的取值范围．

【推荐3】如图1，将一只含角的直角三角板按如图摆放，其中，顶点A，C分别在直线上（），此时恰好平分，交直线于D点，过D点作交于E点，连接，在上取一点F，使，的角平分线交于G点．

(1)_______°；
(2)求证：平分；
(3)现将三角板绕顶点A逆时针旋转一定的度数（如图2），的延长线交于点K，连接，过D点作交于E点，在上取一点F，使得相等，的角平分线交于G点，若，求此时的度数．

【推荐3】在矩形中，点是对角线上一动点，连接，过点作交于点．
   
(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，点在运动过程中的值是否发生变化？请说明理由；
(3)如图3，若点为的中点，连接交于点，将沿翻折得到，连接交于点，当，时，求的长．