【推荐1】已知是的外接圆，为的直径，交于点，连接并延长交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接、，过点作，垂足为．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的面积．

【推荐3】【探究】（1）如图1，在四边形中中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系．他的结论是　　　　　　．
   
【拓展】（2）如图2，已知是等腰直角三角形，．将三角板的角的顶点与点C重合，使这个角落在的内部，两边分别与斜边交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在的内部旋转，在点E、F的位置发生变化时，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【实际应用】（3）如图2，在四边形中，，，若，则四边形的面积为__________．

【推荐1】如图，已知：，，，，为的中点，直线与相交于点，求证：．

【推荐2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥AD，∠ABC=∠ADC．在BC延长线上取点E，使得DC=DE．
（1）如图1，当AD∥BC时，求证：①∠ABC=∠DEC；②CE=2BC；
（2）如图2，若tan∠ABC=，BE=10，设AB=x，BC=y，求y与x的函数表达式．

【推荐3】点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．
（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是      ；
（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？
（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．

【推荐1】已知:正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．
（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；
（2）在（1）的条件下，若DE:AE:CE= ，求∠AED的度数；
（3）若BC = 4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2)，若OF =，求CN的长．

【推荐3】如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．
（1）求证：EF=EG：
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD对角线AC上，其他条件不变．
   ①（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
   ②若EC=2，试求四边形EFCG的面积．

【推荐2】某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别是上的两点，连接，则的值为___________；
(2)如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接且，则的值为___________；
【类比探究】
(3)如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交ED的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：；

【拓展延伸】
(4)如图4，在中，，将 沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边上，连接．
①求的值；
②连接，若，直接写出的长度．

【推荐3】如图1，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别交矩形的两边、于E、F（E、F不与A重合），沿着将矩形折叠使A、D重合．

(1)当点E为中点时，求点F的坐标，并直接写出与对角线的关系；
(2)如图2，连接．
①的周长是否有最小值，若有，请求出最小值；若没有，请说明理由；
②当平分时，直接写出k的值．