综合与实践
问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形
是正方形，点
在线段
上
，以
为边作正方形
，使点
在线段
上．延长至点
，使
，连接
．
①求证：
；
②猜想线段
与
之间的数量关系，直接写出结论；
深入探究：（2）奋进小组将正方形
从图1中位置开始，绕点逆时针旋转（设点
的对应点为
），提出如下问题，请你解答：
①如图2，当点
恰好落到线段
上时，连接．猜想此时线段与之间的数量关系，并说明理由；
②若
，在正方形旋转过程中，直接写出
三点在同一直线上时线段的长．
问题情境：综合实践课上，老师让同学们以正方形为背景，添加适当的几何元素后，探究线段之间的数量关系．如图1，已知四边形
是正方形，点在线段上，以为边作正方形，使点在线段上．延长至点，使，连接．
①求证：
；②猜想线段
与之间的数量关系，直接写出结论；深入探究：（2）奋进小组将正方形
从图1中位置开始，绕点逆时针旋转（设点的对应点为），提出如下问题，请你解答：①如图2，当点
恰好落到线段上时，连接．猜想此时线段与之间的数量关系，并说明理由；②若
，在正方形旋转过程中，直接写出三点在同一直线上时线段的长．
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更新时间：2024-04-21 10:01:51
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】等边
的两边
、
所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且
，
，
．当点M、N分别在直线、上移动时，探究
之间的数量关系以及
的周长Q与等边的周长L的关系．
(1)如图①，当点M、N在边、上，且
时，之间的数量关系式为______；此时
的值是______；
(2)如图②，当点M、N在边、上，且
时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
(3)如图③，当点M、N分别在边、
的延长线上时，若
，试用含x、L的代数式表示Q．
的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且，，．当点M、N分别在直线、上移动时，探究之间的数量关系以及的周长Q与等边的周长L的关系． (1)如图①，当点M、N在边
、上，且时，之间的数量关系式为______；此时的值是______；(2)如图②，当点M、N在边
、上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(3)如图③，当点M、N分别在边
、的延长线上时，若，试用含x、L的代数式表示Q．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，在矩形中，
，
，点E为
中点，连接
，点F为
中点，点G为线段上一点，连接
．
(1)如图1，若点G为中点，求证：四边形
为平行四边形；
(2)如图2，若点G使得
，求四边形的面积；
(3)如图3，连接
，若点G使得
，求
的长．
中，，，点E为中点，连接，点F为中点，点G为线段上一点，连接．(1)如图1，若点G为
中点，求证：四边形为平行四边形；(2)如图2，若点G使得
，求四边形的面积；(3)如图3，连接
，若点G使得，求的长．
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，
厘米，
的中点. 如果点P在线段
上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段
上以每秒a厘米的速度由C点向A点运动，设运动时间为t（秒）（
）.
的长度；
与
是否全等，请说明理由；
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】原题呈现：
如图1： 在和 
中， 
点 为 内部一点，射线
交直线
于点．试探究： 
， 
， 
之间存在怎样的数量关系
问题探究：
（1）先将问题特殊化如图（2），当点
，重合时，直接写出一个等式，表示，， 之间的数量关系；，不重合时（1）中的结论仍然成立．
拓展延申：
（3）如图3，若将原题中的条件“
”改为 
（
是常数），请写出一个等式，表示线段，
，
之间的数量关系．
如图1： 在
和 中， 点 为 内部一点，射线 交直线 于点．试探究： ， ， 之间存在怎样的数量关系
问题探究：
（1）先将问题特殊化如图（2），当点
，重合时，直接写出一个等式，表示，， 之间的数量关系；
，不重合时（1）中的结论仍然成立．拓展延申：
（3）如图3，若将原题中的条件“
”改为 （是常数），请写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
(1)如图
，已知，
，过点能否画出的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
(2)如图
，在四边形中，
，
垂直平分，垂足为，交于点，已知，
，
．求证：直线为四边形的“等分积周线”．
(1)如图
，已知，，过点能否画出的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．(2)如图
，在四边形中，，垂直平分，垂足为，交于点，已知，，．求证：直线为四边形的“等分积周线”．
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，其中
．
；
，因此
的值为______；
，
，求正方形
，
，
，若
，求
【推荐1】【问题背景】
如图，点
是等边内一点，
，求
的度数．
【方法探索】
小丽通过分析、思考，形成如下思路：
思路一：将
绕点
逆时针旋转
，得到
，连接
，从而求出的度数；
思路二：将
绕点顺时针旋转，得到
，连接，从而求出的度数．
······
下面是某位同学的解题，请你完成后续解题过程；
解：把绕着点逆时针旋转得到，连接．
请接着写下去：
【类比探究】
如图，若点是正方形内一点，
，直接写出
__﹔
如图，点
在正方形的对角线上，且满足
直接写出线段
间的数量关系为_ ；
【拓展延伸】
如图，在四边形
中，
，过点
作
，连接，问线段是否存在最小值?若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
如图，点是等边内一点，，求的度数．【方法探索】
小丽通过分析、思考，形成如下思路：
思路一：将
绕点逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数；思路二：将
绕点顺时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．······
下面是某位同学的解题，请你完成后续解题过程；
解：把
绕着点逆时针旋转得到，连接．请接着写下去：
【类比探究】
如图，若点是正方形内一点，，直接写出 __﹔如图，点在正方形的对角线上，且满足直接写出线段间的数量关系为_ ；【拓展延伸】
如图，在四边形中，，过点作，连接，问线段是否存在最小值?若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】（1）如图1，已知正方形在直线
的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形
．
【初步探究】①
与
的关系为_______________；
【深入探究】②连接
，观察并猜测
的度数，并说明理由；
【衍生拓展】（2）如图2，将图1中的正方形改为矩形，
，
（
，
为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上．判断当点由向运动时，的大小是否总保持不变？若的大小不变，请用含，的代数式表示
的值；若的大小发生改变，请举例说明．
在直线的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形．【初步探究】①
与的关系为_______________；【深入探究】②连接
，观察并猜测的度数，并说明理由；【衍生拓展】（2）如图2，将图1中的正方形
改为矩形，，（，为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上．判断当点由向运动时，的大小是否总保持不变？若的大小不变，请用含，的代数式表示的值；若的大小发生改变，请举例说明．
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是正方形外侧过点A的直线，
，点B关于直线
，
度数为 ；
时，请用等式表示线段
之间的数量关系，并证明你的结论；
时，请直接用等式表示线段
，其他条件不变，当
时，请直接用等式表示线段
解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】如图，在
的内接中，
，作
于点
，交于另一点
是
上的一个动点（不与
重合），射线
交线段
的延长线于点，分别连接和
交于点．
；
(2)若
，
，求的长；
(3)在点运动过程中，当
时，求
的值．
的内接中，，作于点，交于另一点是上的一个动点（不与重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和交于点．
；(2)若
，，求的长；(3)在点
运动过程中，当时，求的值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】定义：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个与原三角形相似，那么我们称这条线段为原三角形的相似线，记此小三角形与原三角形的相似比为k．
（1）【理解】如图1，△ABC中，已知D是AC边上一点，∠CBD＝∠A．求证：BD是△ABC的相似线；
（2）【探究】如图2，△ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2
．请用尺规作图法在平面内找一点D、使BC是以A、D为其中两个顶点的三角形的相似线，并直接写出k的值，（提醒：保留作图痕迹，在确认无误后用黑色签字笔将作图痕迹描黑）
（3）【应用】如图3，扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝OB＝2，C，D分别是OA，OB的中点，P是弧AB上的一个动点，求PC+2PD的最小值．
（1）【理解】如图1，△ABC中，已知D是AC边上一点，∠CBD＝∠A．求证：BD是△ABC的相似线；
（2）【探究】如图2，△ABC中，AB＝4，BC＝2，AC＝2
．请用尺规作图法在平面内找一点D、使BC是以A、D为其中两个顶点的三角形的相似线，并直接写出k的值，（提醒：保留作图痕迹，在确认无误后用黑色签字笔将作图痕迹描黑）（3）【应用】如图3，扇形AOB中，∠AOB＝90°，AO＝OB＝2，C，D分别是OA，OB的中点，P是弧AB上的一个动点，求PC+2PD的最小值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴、
轴分别角与A、B两点，P、Q分别是线段OB、AB上的两个动点，点P从O出发一每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时Q从B出发，以每秒5个单位的速度向终点A运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．
（1）求出点Q的坐标（用t的代数式表示）
（2）若C为OA的中点，连接PQ、CQ，以PQ、CQ为邻边作
PQCD.
①是否存在时间t，使得坐标轴切好将PQCD的面积分为1:5的两个部分，若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.
②直接写出整个运动过程中PQCD对角线DQ的取值范围.
与轴、轴分别角与A、B两点，P、Q分别是线段OB、AB上的两个动点，点P从O出发一每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时Q从B出发，以每秒5个单位的速度向终点A运动，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t秒．（1）求出点Q的坐标（用t的代数式表示）
（2）若C为OA的中点，连接PQ、CQ，以PQ、CQ为邻边作
PQCD.①是否存在时间t，使得坐标轴切好将
PQCD的面积分为1:5的两个部分，若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.②直接写出整个运动过程中
PQCD对角线DQ的取值范围.
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