【推荐1】【初步感知】

（1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度；
【深入探究】
（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．
【启发应用】
（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．

【推荐2】如图，在四边形中，，且平分．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐3】数学课上老师出了这样一道题：如图①，已知线段和直线l，在直线l上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规作出所有的点P．

   

【探索发现】（1）如图②，小明的作图方法如下：
第一步：分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧在上方交于点O；
第二步：连接；
第三步：以O为圆心，长为半径作，交l于点和．
则图中、即为所求的点．
请在图②中，连接、、、，并求证：．
【方法迁移】
如图③，在矩形的边上找点P，使得，请用无刻度的直尺和圆规在图③矩形的边上作出所有的点P．（不写作法，保留作图痕迹）
【深入探究】
（2）已知矩形，，，P为矩形边上的点，若满足的点P恰有两个，则m的取值范围______．
（3）已知矩形，，，P为矩形内一点，且，则的最小值为______．

【推荐2】如图，已知抛物线y=k（x+1）（x﹣3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，O为坐标原点．
（1）用k表示点C的坐标（0，　 　）；
（2）若k=1，连接BE，
①求出点E的坐标；
②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；
（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．

【推荐1】点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”．如图①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E，F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”．

(1)如图②，在内直径为6 m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为________m；
(2)矩形大厅ABCD的宽AB为20 m，长AD为40 m，四面都是垂直于地面的平面．在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE，PF与被投射面相交于点E，F，PF在PE关于点P的逆时针方向上．
①如图③，若光源P到点A的水平距离为10 m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”；
②如图④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由．

【推荐3】如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D．

(1)求的长；
(2)试探究之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)连接，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，当点P在半圆上从点B运动到点A时，求的最小值．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线经过A（－3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】是的直径，是的切线，连接交于点，连接．

(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，作的角平分线交于点，交于点，若，，求的值．

【推荐3】在中，，点为线段延长线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，旋转角为，得到线段，连接．

(1)如图1，当时，则与的数量关系为________；的度数为；
(2)如图2，当时，求：和的数量关系；
(3)当时，若，请直接写出点到直线的距离．