旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如
可以写为
．
新知探究：如图1，
中，
是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：
；
类比探究：如图2，P是外一点，
是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出
的等积关系式，并说明理由．
延伸结论：如图2，中，点P是外一点，
是的切线，切点为
是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究
之间的数量关系．
可以写为．新知探究：如图1，
中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：；类比探究：如图2，P是
外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由．延伸结论：如图2，
中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系．
更新时间：2024-04-24 10:08:00
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真题
名校
【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝
，求BC的长．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，tan∠CAD＝
，求BC的长．
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【推荐2】问题提出：
如图1：在
中，
且
，点O为的外心，则的外接圆半径是 ．
问题探究：
如图2，正方形
中，E、F分别是边
两边上点且
，请问线段
有怎样的数量关系？并说明理由．
问题解决：
如图3，四边形中，
，
，点E、F分别是射线
上的动点，并且
，试问
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
如图1：在
中，且，点O为的外心，则的外接圆半径是 ．问题探究：
如图2，正方形
中，E、F分别是边两边上点且，请问线段有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：
如图3，四边形
中，，，点E、F分别是射线上的动点，并且，试问的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．
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【推荐3】请阅读材料，并完成相应的任务．
任务：
(1)将探索小组的解题过程补充完整；
(2)如图3，当点P在内时，
所对的一个圆内角，延长AP交于点C，延长BP交于点D，若设
，
所对的圆心角为n°，则∠APB的度数为______．
在数学探究课上，同学们发现改变图1中圆周角的顶点P的位置，可以得到类似 和 这样顶点在圆外和圆内的角．结合数学课上学习的圆周角的概念，对顶点在圆外和圆内的角进行定义：顶点在圆外，两边都与圆相交的角叫做圆外角．顶点在圆内的角叫做圆内角，如图1，和分别是AB所对的圆外角和圆内角． 如图2，点A，B在 上，为所对的一个圆外角．AP，BP分别交于点C，D．若 ，所对的圆心角为50°，求的度数．探索小组的解题过程（部分）如下： 解：如图2，连接AD，OC，OD． ∵  是所对的圆周角，且，∴  ．…  |
(1)将探索小组的解题过程补充完整；
(2)如图3，当点P在
内时，所对的一个圆内角，延长AP交于点C，延长BP交于点D，若设，所对的圆心角为n°，则∠APB的度数为______．
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【推荐1】为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆
与铅垂线
的夹角为
点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得
．已知铁环的半径为
，推杆的长为
，求此时的长．
与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离
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【推荐2】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是AC的中点，AE=2．经过点E作△ABE外接圆的切线交BC于点D，过点C作CF⊥BC交BE的延长线于点F，连接FD交AC于点H，FD平分∠BFC．
（1）求证：DE=DC；
（2）求证：HE=HC=1；
（3）求BD的长度．
（1）求证：DE=DC；
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中，
，
上一点，以
为直径的
与
相切于点
于点
，垂足为
．
是
，
，求
的长．
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【推荐1】如图，四边形是的内接四边形，连接
，延长
至点
．
(1)若
，求证：
；
(2)若
，⊙O的半径为2，求
．
是的内接四边形，连接，延长至点．(1)若
，求证：；(2)若
，⊙O的半径为2，求．
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【推荐2】如图，是半圆的直径，
，
是半圆上的两点，且
的度数为
，
，求
的度数.
是半圆的直径，，是半圆上的两点，且的度数为，，求的度数.
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【推荐1】如图，已知内接于，是直径，点在上，
，过点作
，垂足为，连接交
边于点
．
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）连接
，设
的面积为
，
，求四边形
的面积（用含有的式子表示）．
内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交边于点． （1）求证：
；（2）求证：
；（3）连接
，设的面积为，，求四边形的面积（用含有的式子表示）．
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【推荐2】如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
（1）求证：△BDG∽△DEG；
（2）若EG•BG=4，求BE的长．
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边为直径的
于点
上取一点
，延长
依次交
．
；
，
，求
的长．
