【推荐1】在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.
（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点 F 为 AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD
   
（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点 F，G 均为 AD上的点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+ BC+CD.
   

【推荐2】在中，，交CD的延长线于点B．

(1)将一等腰直角三角尺按图（1）所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为A，一条直角边与DF重合，另一条直角边恰好经过点C．通过观察、测量AC与BF的长度，得到．请给予证明．
(2)当三角尺沿DF方向移动到图（2）所示的位置时，一条直角边仍与DF边重合，另一条直角边交CF于点E，过点E作垂足为G．此时请你通过观察、测量GE，AE与BF的长度，猜想并写出EG，EA与BF之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
(3)当三角尺在图（2）的基础上沿DF方向继续移动到图（3）所示的位置（点A在线段DF上，且点A与点F不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

【推荐1】如图，已知是的直径，点P在的延长线上，切于点D，过点B作，垂足为C，交的延长线于点E．

(1)求证：；
(2)连接，如果，求的长．

【推荐2】 如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是直线AB上一动点（不包含点A，B），过点B作BE⊥CD于点E，连接EA．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，直接写出线段CE，BE，AE的数量关系：______．
（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，判断线段CE，BE，AE的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，当点D在线段BA的延长线上时，并将已知条件中的“AB=AC”改成；，其他条件不变，若CE=1，，请直接写出线段BE的长．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OACB的顶点A、B分别在轴和轴上，已知OA=5，OB=3，点D的坐标是（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿折线BCA的方向运动，当点P与点A重合时，运动停止，设运动的时间为秒．

（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；
（2）求△OPD的面积S关于的函数解析式，并写出对应的取值范围；
（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP是不以DP为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，△ABC内接于， AB为直径，∠ACB 的平分线分别交AB于点D．交于点E，过点E作的切线，交CE的平行线AF于点F．

(1)求证：四边形ADEF为平行四边形．
(2)若tan∠CAB＝，AF＝5，求四边形ADEF的面积．

【推荐2】已知，是的中线，过点作．
   
(1)如图1，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；
(2)是线段上一点（不与点，重合），交于点，交于点，连接．如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
(3)在第（2）问的条件下，如图3，延长交于点，若，，，，请求出的值．

【推荐3】如图，在正方形中，点E为边延长上一点，点F在边上，且，过点F作，垂足为G，连接、．

(1)求证：．
(2)试猜想：与之间具有怎样的数量关系？并证明你的结论．

【推荐2】如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．将∠EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′，DF′分别与直线AB，BC相交于点G，P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．

【推荐3】如图（1），在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，交BD于点F．
（1）如图（2），若点M在BC边上，且DE＝CM，连结AM，EM．求证：三角形AEM为等边三角形；
（2）设，求tan∠AFB的值（用x的代数式表示）；
（3）如图（3），若点G在线段BF上，且FG＝2BG，连结AG、CG，，四边形AGCE的面积为S₁，ABG的面积为S₂，求的最大值．