【推荐1】二次函数y＝a（x﹣3）²﹣1的图象记为抛物线C，它与x轴交于点A（2，0）、B，其对称轴与x轴交于点E，顶点为D，点P（m，n）在抛物线C上（异于点A、B、D）．小聪以点E为位似中心，把A、B、D、P为顶点的四边形按相似比2：1放大，并画出了过A、B、D的对应点的抛物线C₁（如图），小明认为还可以找到一条过A、B、D的对应点的抛物线C₂．
（1）a＝______；抛物线C₂对应的函数表达式为______；
（2）试证明：点P的对应点在抛物线C₁或C₂上；（选择其中一种情形证明）
（3）设点P（1，3）落在抛物线C₁、C₂上的对应点分别为P₁、P₂，点Q在这个平面直角坐标系上，P₁Q＝2，DQ+P₂Q的最小值为______．（直接写出结果）

【推荐2】抛物线过，，三点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图①，点K与点C关于抛物线对称轴对称，抛物线上一点D在线段AK的上方，交AK于点E，若满足，求点D的坐标；
(3)如图②，F为抛物线顶点，过A作直线，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动．是否存在这样的点P、Q，使得与相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，已知二次函数的图像交x轴于点，，交y轴于点C．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，点M从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿线段BC向点C运动，点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OB向点B运动，点M，N同时出发．设运动时间为t秒（0<t<5）．当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)求t为何值时，是等腰三角形？

【推荐2】如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
(3)如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标．

【推荐3】中，∠ACB=90°，AC=BC，D是BC上一点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转，使点D的对应点E在BC的延长线上。过点E作EF⊥AD垂足为点G，

（1）求证：FE=AE；
（2）填空：=__________
（3）若，求的值(用含k的代数式表示)．

【推荐1】已知：内接于，过点作，垂足为点，．
       
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在上，连接，为中点，连接，．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长、分别交于点、，、的延长线相交于点，连接，若，，求线段的长．

【推荐2】已知：点是边所在直线上的一个动点（点与点，不重合），，，连接，点绕点顺时针转得到点，连接，，．

(1)如图1，当点在线段的延长线上时，请你判断线段与线段之间的关系，并证明你判断的结论．
(2)如图2，当点在线段上，且时，直接写出四边形的面积．
(3)点绕点A逆时针转得到点，连接，，，当时，直接写出线段的长．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点 C．

（1）直接写出抛物线的解析式为：　 　；
（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax²+bx+2的图象过点A，C，F．
（1）求抛物线所对应函数的表达式；
（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；
（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA﹣HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系中，抛物线（，，为常数）经过点，．平行四边形的顶点，的坐标分别是，，其中．
(1)当，，时，求：
①求抛物线的顶点坐标；
②求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)对于任意的，当，的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为，（与不重合），则命题“对所有的，，当时，一定不存在的情形．”是否正确？请说明理由．

【推荐3】如图，二次函数的图像与轴交于点两点，连接，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点．
   
(1)求二次函数及直线的表达式；
(2)若点是平面直角坐标系中一点，在点运动的过程中，当四边形为菱形时，求此时点的坐标；
(3)当时，直接写出点的坐标．.