【推荐1】如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

【推荐2】如图1，四边形内接于以为直径的，为上一点，且，连结并延长交的延长线于点，与交于点，连接．

(1)求证：．
(2)若．求证：．
(3)如图2，在（2）的条件下，连结，求的最小值．

【推荐3】【探索发现】如图1，在等腰直角三角形中，，若点在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“型全等”．
【迁移应用】设直线与轴，轴分别交于，两点．

(1)若，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，点在第一象限，如图2．
①直接填写：______，______；
②求点的坐标．
(2)如图3，若，过点在轴左侧作，且，连结．当变化时，的面积是否为定值？请说明理由．
(3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标．（直接写出答案）提示：直线：，就是过点且平行于轴的直线．

【推荐1】如图1，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接．

(1)求证：；
(2)①当、、共线时，则          ；
②当、、共线时，则            ；
(3)若点到直线的距离为，求点所经过的路径长．

【推荐2】如图l，在矩形ABCD中，BC>AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线，交AD于点K，交BC于点G．

(1)求证：；
(2)求证：AB+AK=BG；
(3)如图2，若KD=KG=2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重台），交KG于点M，交DG于点N，设PD=x，，求出y与x的函数关系式.

【推荐3】已知，四边形是矩形．
（1）如图，若点为的中点，求证：．

（2）如图，延长至点，使得，若，，求的长．

（3）如图，在（1）的条件下，延长至点，使得．连接，找的中点，连接．探究线段和的数量关系为___________，并证明你的结论．

【推荐1】问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形AEFG中，点在一条直线上，连接（如图1）．

（1）操作发现
图1中线段和的数量关系是___________，位置关系是___________．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
（3）类比探究
如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，，则．请利用这一数量关系解决：
若，知形在顺时针旋转过程中，当点在同一直线时，请求出的值．

【推荐2】【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．

【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．

【推荐3】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是　 　，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为　 　；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=，DB=5，则△ABC的面积为　 　．（直接写出答案）

【推荐1】【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点在线段上，，求证：平分；
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，为上一点，连接交于点．若，
求证：；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，，点在上，，若，，，求的长．

       

【推荐2】【基础巩固】

（1）如图1，在中，是的中点，是的一个三等分点，且．连结，交于点，则_________；_________．

【尝试应用】

（2）如图2，在中，为上一点，，，若，，，求的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在中，为上一点，为中点，与，分别交于点，，若，，，，求的长．

   

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）的顶点为N．
（1）如图，若此抛物线过点，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，
①求的度数；
②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当时，线段CD的长为___．
（3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为，当时，请直接写出k的值．