综合与实践
问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题．
如图1，将平行四边形纸片
折叠，使得点
与点
重合，折痕为
，展开后，连接
，
．试探究四边形
的形状，并说明理由．
独立思考：请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点
落在点
处，展开铺平，连接
，若
，求折痕的长．
解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片沿着
折叠，连接，若点的对应点
恰好落在上，展开铺平，连接
，当
时，直接写出
的长．
问题情境：（1）在综合与实践活动课上，老师出示了一个问题．
如图1，将平行四边形纸片
折叠，使得点与点重合，折痕为，展开后，连接，．试探究四边形的形状，并说明理由．独立思考：请解答老师提出的问题．
实践探究：（2）“希望小组”受此问题的启发，如图2，将平行四边形纸片
改为矩形纸片，然后将矩形纸片沿着折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，展开铺平，连接，若，求折痕的长．解决问题：（3）“智慧小组”突发奇想，如图3，将平行四边形纸片
沿着折叠，连接，若点的对应点恰好落在上，展开铺平，连接，当时，直接写出的长．
更新时间：2024-05-08 14:51:46
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解答题-证明题
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(0.4)
【推荐1】如图①，在
ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．
(1)求证：BDA≌BFE；
(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD
BF．
(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：
BDA≌BFE；(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD
BF．(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．
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名校
【推荐2】【问题情境】
【尝试应用】
(2)如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
(3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出
的值．
【尝试应用】
(2)如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
【拓展提升】
(3)如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，直接写出
的值．
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(0.4)
【推荐1】综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使
落在边
上，点与点
重合，折痕为．
根据以上操作：四边形
的形状是 ；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边
都落在四边形的对角线上，折痕为
，连接
，如图2．
根据以上操作：
的度数为 ，线段
的数量关系是 ．
(2)迁移探究
如图3，在
上分别取点
，使
和图
中的相等，连接
，探究线段
之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图
中的的边
分别交对角线于点
，将纸片沿对角线剪开，如图
，若
，
，直接写出
的长．
操作一：如图1，将矩形纸片
折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．根据以上操作：四边形
的形状是 ；操作二：沿
剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．根据以上操作：
的度数为 ，线段的数量关系是 ．(2)迁移探究
如图3，在
上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线
，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．
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解题方法
【推荐2】矩形中，
，
，将矩形折叠，使点落在点
处，折痕为
．
（1）如图1，若点恰好在边
上．
①求证：
；
②求
的长；
（2）如图2，若是的中点，
的延长线交于点
，求
的长．
中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．（1）如图1，若点
恰好在边上．①求证：
；②求
的长；（2）如图2，若
是的中点，的延长线交于点，求的长．
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．点M、N分别是
边上的动点，连接
，将
沿
时，
的度数．
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(0.4)
【推荐1】【初步感知】
（1）如图①，在
中，点为
上一点，连接并延长交的延长线于点，若
，求证：点是的中点；
【探究运用】
（2）如图②，在四边形中，
，
，，
，点是的中点，且
，、的延长线相交于点，求证四边形
是菱形，并求的长；
【实际运用】
（3）如图③，某小区内有一块三角形区域
，在
边的中点处修建一个公共卫生间，在边上确定一点，使得
，修两条笔直的小路
和
，在其交汇处修一凉亭（凉亭大小忽略不计），已知凉亭到处的距离为200米（即
米），求凉亭到
处的距离
．
（1）如图①，在
中，点为上一点，连接并延长交的延长线于点，若，求证：点是的中点；【探究运用】
（2）如图②，在四边形
中，，，，，点是的中点，且，、的延长线相交于点，求证四边形是菱形，并求的长；【实际运用】
（3）如图③，某小区内有一块三角形区域
，在边的中点处修建一个公共卫生间，在边上确定一点，使得，修两条笔直的小路和，在其交汇处修一凉亭（凉亭大小忽略不计），已知凉亭到处的距离为200米（即米），求凉亭到处的距离．
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(0.4)
【推荐2】如图在△ABC中，∠CAB=
，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
(1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
(2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
(3)若AC=6，AB=8，求BF的长．
，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，(1)试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
(2)若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
(3)若AC=6，AB=8，求BF的长．
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的直径，
并延长，交弧
的延长线于点
．填空
的度数为___________时，四边形
为菱形；
时，四边形
的面积为___________．
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在
中，
，，
，是边的中点，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作
于点
，当点不与点、、重合时，以
、
为邻边作
，设点的运动时间为
秒．
(1)用含有t的代数式表示线段的长．
(2)当点到点、的距离相等时，求的长．
(3)当的某条对角线与边垂直时，求t的值．
(4)作点关于直线的对称点
，连结
，当
时，直接写出的值．
中，，，，是边的中点，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿向终点运动，过点作于点，当点不与点、、重合时，以、为邻边作，设点的运动时间为秒．(1)用含有t的代数式表示线段
的长．(2)当点
到点、的距离相等时，求的长．(3)当
的某条对角线与边垂直时，求t的值．(4)作点
关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值．
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(0.4)
【推荐2】在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时,判断四边形AEMC的形状，并给出证明；
（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切 ，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．连接MB和MC，当△OCE∽△OBC时,判断四边形AEMC的形状，并给出证明；
（3）有一动点P在（1）中的抛物线上运动，是否存在点P，以点P为圆心作圆能和直线AC和x轴同时相切 ，若存在，求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由．
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．动点
重合时，过点
交边
，使点
时，求
的面积．
的某两条边所在的直线距离相等时，直接写出
