【推荐1】如图、，在平行四边形中，、的角平分线、分别与线段两侧的延长线（或线段）相交于、，与相交于点.

（1）在图中，求证：，.
（2）在图中，仍有（1）中的，成立，请解答下面问题：
①若，，，求和的长；
②是否能给平行四边形的边和角各添加一个条件，使得点恰好落在边上且为等腰三角形？若能，请写出所给条件；若不能，请说明理由.

【推荐2】如图，，P为线段上的一点．
        
(1)在图①中仅用圆规和无刻度直尺分别在、上分别作点E、F，使，且．无需写出作图步骤，但保留作图痕迹；
(2)若，求．（图②供问题（2）用）

【推荐3】如图，已知=30°， 点A₁，A₂， A₃，……射线ON上，点B₁，B₂， B₃..在射线OM上，，均为等边三角形，若OA₁=1.

(1) A₁A₂=        ;
(2)求A₃A₄的长:
(3)根据你发现的规律直接写出A₂₀₁₉A₂₀₂₀的边长.

【推荐1】在中，点D、E分别在、边上，设与相交于点F．如图，设，，点G在的延长线上，连接、；若，．

(1)求证：；
(2)证明：．

【推荐2】如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作的切线交于点，交延长线于点．

(1)求证：．
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）．

【推荐3】【概念认识】如果，即，则b叫做a和c的比例中项，或等比中项．若一个三角形一条边长是另两条边长的等比中项，我们把这个三角形叫做等比三角形．
（1）已知是等比三角形，，．请直接写出所有满足条件的的长；
【数学理解】
（2）如图1，在四边形中，，对角线平分，．求证：是等比三角形；
【问题解决】
（3）如图2，在（2）的条件下，当时，求的值．

【推荐1】如图甲，点C将线段AB分成两部分（AC＞BC），如果=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积分别为S₁，S₂（S₁＞S₂）的两部分，如果=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）如图乙，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论；
（2）若△ABC在（1）的条件下，如图丙，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图丁，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB上的一点，（不与A，B重合）过D作DE⊥BC于点E，连接AE，CD相交于点F，连接BF并延长，与DE，AC分别交于点G，H．请问直线BH是直角三角形ABC的黄金分割线吗？并说明理由．

【推荐2】已知：在中，，，且点，分别在矩形的边，上．

(1)如图，当点在上时，求证：；
(2)如图，若是的中点，与相交于点，连接，求证：；
(3)如图，若，，分别交于点，，求证：

【推荐3】如图，点为外一点，点为上一点，点为上一点且，连接并延长交于点，连接，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为8．求的长．

【推荐2】如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．

（1）求证：；
（2）如图2，若，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．

【推荐3】综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，C两点，交y轴于点，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)当P在下方时，求面积的最大值；
(3)当时，的面积为___________；
(4)点M为抛物线对称轴上的一点，点N为平面内一点，是否存点M、点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由．