【推荐1】【问题提出】
若一个图形与一个角的两边相交（角的顶点在这个图形上或图形内），该图形在角的内部的这部分的长度称为该角对这个图形的“投射长”．如图1，点P是四边形ABCD内一点，∠MPN与四边形ABCD的边AD、BC分别交于点E、点F，此时∠MPN对四边形ABCD的“投射长”就是AE＋AB＋BF；如图2，⊙O上有一点P，此时∠EPF对⊙O的“投射长”就是弧EF的长度．

(1)在图2中，当∠EPF＝75°，⊙O的直径为6时，∠EPF对⊙O的“投射长”＝______；当点在⊙O上运动时，“投射长”如何变化______（填“变大”“变小”或“不变”）
【迁移尝试】
(2)如图3，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠EOF＝90°，请说明此时∠EOF对正方形ABCD的“投射长”CE＋CF是否变化？如果不变，请说明理由．
(3)若在正六边形ABCDEF中，以正六边形ABCDEF的中心O为顶点作角，当该夹角为______度时，该角对正六边形ABCDEF的“投射长”不变．
【深入感悟】
(4)如图4，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝20，点M为AD边上一点，∠EMF＝90°，∠EMF与矩形ABCD的边AB、BC分别交于点E、点F，此时∠EMF对矩形ABCD的“投射长”为BE＋BF．
①当AM＝2，AE＝x时，BE＋BF＝______（用x的代数式表示）
②在AD边上是否存在一点M，使得“投射长”BE＋BF不变，若存在，请求出点M的位置，若不存在，请说明理由．

【综合运用】
(5)如图5，中，，AD＝6，∠B＝45°，点E是BC边上的一个动点，的外接圆过点C，且与DC边交于点F，此时∠EAF对的“投射长”为CE＋CF．当EF取最小值时，CE＋CF的值为______．

【推荐3】（1）如图①，在中，，，，点为中点，点为上一动点，连接，将沿折叠，点的对应点为点．
①连接，则线段和线段的位置关系是______．
②当点落在边上时，求的面积．
（）如图②，在矩形中，，，点在边上，过点作，交于点，将沿折叠得到，以为直径作．当与的边相切时，求的长．

   

【推荐1】已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AP平分∠BAC交BC于D，交⊙O于P，

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，G是的中点，连接BG分别交AP、AC于E、F，连接BP，求证：BP=PE；
(3)如图3，在（2）的条件下，点H是EF上的一点，∠ABE+∠PBD=45°，BE=4EH=4，∠BPH=45°，求AE的长．

【推荐2】如图，在正方形中，P为上一动点，，，，作C关于的对称点，连接、．

(1)当时，求；
(2)连接交、于M、N，若，求y与x的函数关系式．

【推荐3】如图1，，，，点C在上，点D在上，于点E，是半圆O的直径，且，G为上靠近点D的三等分点，F是上的动点．

(1)的最小值为______，的最大值为______；
(2)沿直线向右平移半圆O，若半圆O的右移速度为每秒2个单位长，求点G在的区域内部（包括边界）的时长；
(3)过点B作于点H，且，沿直线向右平移半圆O．
①如图2，当点E与点H重合时，求半圆O在上截得的线段的长；
②将半圆O移动到如图13-2所示的位置时作为初始位置，将线段连带半圆O按顺时针方向开始旋转，如图13-3所示，设旋转角为．当半圆O与的边相切时，直接写出点E运动的路径长．（注：结果保留，，）