【推荐1】如图1，在中，，，点D为内部一点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接交于点F，连接．
   
(1)求证：；
(2)求证：．
(3)如图2，若F为的中点．（下面三个问题，依次按易、中、难排列，请根据自己的认知水平，选择其中一个问题进行解答．）
① 与的面积是否相等，并说明理由．
②若G为的中点，连结，判断与的位置关系，并说明理由．
③探索与的等量关系，并说明理由．

【推荐2】如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C．
（1）求证：AB＝CD；
（2）若OE平分∠BOD，求证：OE垂直平分BD．

【推荐3】请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1和图2中画出的垂直平分线．（保留作图痕迹，不写作法）

(1)如图1，是以为底边的等腰三角形，点D为内一点，；
(2)如图2，，E，F分别为，的中点．

【推荐1】如图，是的直径，点为上一点，为弧的中点，过作于点，交于点，交弦于点，连接，．

(1)求证：．
(2)若，，求的半径．

【推荐1】在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点．
(1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______；
②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______；
(2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围．

【推荐2】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线且AC＝AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E，若⊙O的半径为2，求AE的长．

【推荐3】如图，为的弦，点C为的中点，的延长线交于点D，连接，过点D作的切线交的延长线于点E.

(1)求证：；
(2)若的半径为3，，求的长.

【推荐1】如图，在四边形中，，E是边上一点，连接，，作的外接圆交于点F，与相切于点A．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，求证：；
(3)若，，，则的半径为      ．

【推荐2】如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求切线EC的长．
   

【推荐3】如图，在菱形中，对角线，，点从点出发沿方向匀速运动，速度是，点从点出发沿方向匀速运动，速度是，，与交于点，连接.设运动时间为.
（1）当于时，求的值；
（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使平分？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.