【推荐1】如图，是的中线，，，．求的长．
   

【推荐3】如图，在中，，
   
(1)作的垂直平分线交于点D，连接．
(2)在（1）的条件下，若，，求的长度以及的周长；

【推荐1】下面是小明设计的“过一点作已知直线的垂线”的尺规作图过程，请你阅读后完成相应任务，如图，已知直线及上一点.求作：直线，使于点．
作法：①在直线外任取一点；②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点(不与点重合)③作射线，交①中所画的弧于点；④作直线，直线就是所求作的直线的垂线．
任务：（1）根据小明设计的尺规作图过程，补全图形(要求：尺规作图，保留作图痕迹)；
（2）证明上述方法得到的直线直线．

【推荐2】下面是小华设计的尺规作图．
已知：矩形ABCD．
作法：①分别以A，D为圆心，以大于长为半径，在AD两侧作弧，分别交于点E，F；
②作直线EF；
③以点A为圆心，AD长为半径作弧，交直线EF于点G，连接AG；

根据小明设计的尺规作图，解决下列问题：
(1)求的度数；
(2)过B作．交直线EF于点H．
①求证：四边形ABHG是平行四边形；
②若矩形ABCD的面积为S，则的面积为______．

【推荐3】（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气．泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短?

（2）已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．要求：尺规作图，并保留作图痕迹．