【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，
是一个正方形花园，
是它的两个门，且
，要修建两条路
和
，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是
上一点，连接，过点A作的垂线交
于点F，垂足为点G，若
，
，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在
中，
，
，点D是
上一点，连接
，作
交
于点E，求证：
．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，
，
，作点A关于的对称点D，点E为
上一点，连接
，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则
_________．
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，
是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形
中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．【迁移探究】
（2）如图3，在
中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．【拓展应用】
（3）如图4，在
中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．
更新时间：2024-05-27 14:37:05
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【推荐1】（1）如图1，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝2，BC＝1，则△BCD的周长为 ．
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②图3中补全图形，直接写出∠EOF的度数．
（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且△EDF的周长等于AD的长．
①图2中求作△EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②图3中补全图形，直接写出∠EOF的度数．
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【推荐2】直角三角形
在平面直角坐标系中的位置如图所示，
，
的长是方程
的两个根（
）．将
绕原点O顺时针旋转
得到
，点
的对应点为
，连接．点E从点D出发，以每秒
个单位长度的速度沿着射线
运动，设点E运动的时间为t秒，过点E作
轴于点F，以
为斜边向左作等腰直角三角形
，连接
．
(1)求点
的坐标；
(2)设
的面积为
，求S与t的关系式；
(3)在平面内是否存在点H，使以C，D，G，H为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
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在
，
于点
．
，求证：
；
，连接
，若
，
，求线段
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【推荐1】已知△ABC中，
，P是线段AB上一点，连结CP．
(1)如图，当
时
①若CP是△ABC的高线，求
的值．
②若CP是△ABC的角平分线，求的值．
(2)已知
，当CP恰好将△ABC分成两个等腰三角形时，求AB的长．
，P是线段AB上一点，连结CP．(1)如图，当
时①若CP是△ABC的高线，求
的值．②若CP是△ABC的角平分线，求
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【推荐2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若CE＝5，
，BD＝6．求AD的长．
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中，
，
，过点
作
，垂足为点
剪下
，将它平移至
的位置，拼成四边形
．
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，剪下
，将它平移至
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【推荐1】在
和
中，
，直线AC与BD交于点M．
(1)如图1，若
，求
的值；
(2)如图2，若
，求的值（用含
的式子表示）；
(3)若
，
，
，将三角形OCD绕着点O在平面内旋转，直接写出当点A、C、D在同一直线上时，线段BD的长．
和中，，直线AC与BD交于点M．(1)如图1，若
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【推荐2】【问题探究】
（1）如图1，在菱形中，对角线，相交于点
，点E、F分别在边、上，连接
、
．
①若
，则与的数量关系为：_______；
②若
，求证：
．
【问题解决】
（2）某地推进积极探索“公园＋”，让生态底色嵌入城市生活，让城市增添更多暖意、恓意、诗意．如图2，某两个小区之间有一块矩形空地，市政府计划在这块矩形空地上修建一个微型公园．经测量
，
，沿矩形的对角线修建一条景观水渠（水渠宽度忽略不计），把空地分成两个区域：三角形
为游乐拓展区，三角形
为功能性绿化区，计划在功能性绿化区内打造一天然氧吧绿地（
），为的中点，M、N分别在线段、上，根据设计要求
．当
为多长时，绿地的面积最大，最大面积是多少平方米？
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是
的外接圆，
，
于点H，交
交
；
，若
，
，求
的长．
【推荐1】【问题背景】如图1，P是等边△ABC内一点，∠APB＝150°，则PA2+PB2＝PC2．小刚为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请帮助小刚完成辅助线的作图；
【迁移应用】如图2，D是等边△ABC外一点，E为CD上一点，AD∥BE，∠BEC＝120°，求证：△DBE是等边三角形；
【拓展创新】如图3，EF＝6，点C为EF的中点，边长为3的等边△ABC绕着点C在平面内旋转一周，直线AE、BF交于点P，M为PG的中点，EF⊥FG于F，FG＝4
，请直接写出MC的最小值．
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解题方法
【推荐2】如图1，抛物线
经过点
，
，交y轴于点C﹔
(1)求抛物线的解析式；
(2)D为抛物线的顶点，求
的面积；
(3)点Р为该抛物线对称轴上一点，
①如图2，当
取得最小值时，求出Р点坐标；
②如图3，当
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经过点，，交y轴于点C﹔ (1)求抛物线的解析式；
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的面积；(3)点Р为该抛物线对称轴上一点，
①如图2，当
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