【推荐1】如图1，在等腰 中，，点 是 外一点，点 在线段 上，平分．

(1)求证：；
(2)如图2，，过 作 ，垂足为 交 于 ，请探索 之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，线段 与 交于点 （在线段 上），在线段 上取点 ，使得 ． 已知 ，当 的值最小时，求 的面积．

【推荐3】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D是直线BC上一点，过点A作∠DAE=90°（使点D，A，E按顺时针的顺序排列），且AE=AD，连接CE，过点A作AF⊥CE交直线CE于点F．

(1)如图，当点D在线段BC上时；求证：CE=BD；
(2)当点D在直线BC上时，直接写出线段BD、CD、EF之间的数量关系．

【推荐2】如图在平面直角坐标系中，点，点是轴上方的点，且，、分别平分、，过点作，与的延长线交于点.

（1）当时，求的长.
（2）求证：.
（3）若的中点为，探究点横坐标的规律.
特殊情况探究：①当时，求出此时点的横坐标为6，②当时，求得此时点的横坐标为______.
一般情况探究：③当时，点横坐标的规律是什么？并证明这个规律.

【推荐3】如图，是边长为12的等边三角形，点是边上一动点，由点向点运动（与、不重合），点是延长线上一点，与点同时以相同的速度由点向延长线方向运动（点不与点重合），过点作于，连接交于点．
（1）当时，求的长；
（2）证明：在运动过程中，点是线段的中点；
（3）点，点运动过程中线段的长是否为定值？如果线段的长为定值，求出线段的长；如果线段的长不为定值，请说明理由．

【推荐1】点E、F分别是□ABCD的边BC、CD上的点，∠EAF＝60°，AF＝4
(1) 若AB＝2，点E与点B、点F与点D分别重合，求平行四边形ABCD的面积；
(2) 若AB＝BC，∠B＝∠EAF＝60°，求证：△AEF为等边三角形；
(3) 若BE＝CE，CF＝2DF，AB＝3，直接写出AE的长度（无需解答过程）．

【推荐2】综合与实践
在数学综合实践课上，老师让同学们探究等腰直角三角形中的折叠问题．
引入：
如图，在中，，，点在边上运动，点在边上运动．

(1)如图，当沿折叠，点落在边的点处，且时，______；四边形的形状是______；
拓广：
(2)如图，奇异小组同学的折叠方法是沿折叠，点落在点处，延长交于点，，点在边上运动，沿折叠使点落在线段的中点处，求线段的长；
应用：
(3)沿折叠，点的对应点恰好落在边的三等分点处，请借助图探究，并直接写出的长．

【推荐3】综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点是射线上一点，过点作直线，与轴右侧的抛物线交于点．点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度向右运动，设点运动的时间为t秒．请解答下列问题：
(1)求直线AC的表达式与点的坐标；
(2)在点运动的过程中，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求运动的时间；
(3)设点与点关于直线对称，
①点的坐标为       (用含的代数式表示，结果需化简)；
②当点落在抛物线的对称轴上且点在线段上时，在平面内是否存在点F，使得以点，，，F为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出此时点F的坐标；若不存在，请说明理由．
   

【推荐1】如图， 在平面直角坐标系中， 点坐标为， 点在轴正半轴上，直线经过点、，且，
（1）若点的坐标为，求直线的表达式；
（2）反比例函数的图像与直线交于第一象限的、两点，当时，求的值（用含的式子表示）；
（3）在（1）的条件下，设线段的中点为，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图像于点，分别连接、， 当与相似时，请直接写出满足条件的值．

【推荐2】已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，抛物线的对称轴交轴于点．
(1)求抛物线的表达式和顶点P的坐标；
(2)已知抛物线与抛物线关于点中心对称，点的对称点为点，点的对称点为点，若，求抛物线的表达式．．

【推荐3】几何探究：
【问题发现】
（1）如图1所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形，BD、CE的关系是_______（选填“相等”或“不相等”）；（请直接写出答案）

【类比探究】
（2）如图2所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的含有角的直角三角形，（1）中的结论还成立吗?请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1 : 2的两个等腰直角三角形，将△ADE绕点A自由旋转，若，当B、D、E三点共线时，直接写出BD的长．