【推荐1】本学期我们学习了角平分线的性质定理及其逆定理，那么，你是否还记得它们的具体内容．
(1)请把下面两个定理所缺的内容补充完整：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到______的距离相等．
角平分线性质定理的逆定理：到角的两边距离相等的点在______．
(2)老师在黑板上画出了图形，把逆定理的已知、求证写在了黑板上，可是有些内容不完整，请你把内容补充完整．

(3)请你完成证明过程
(4)知识运用：如图，三条公路两两相交，现在要修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，加油站可选择的位置共有______处．

【推荐2】如图1，已知，，与交于点．
   
(1)求的度数；
(2)如图2，连接，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有全等三角形（不包括已知全等三角形）

【推荐3】已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作．

(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，且，求的长．

【推荐1】如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于．
   
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，连，求证：平分．
(3)如图3，若周长为20，求的长．

【推荐2】在△ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，点E和点F分别在AB和AC上，且DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F（如图（1）），则可以得到以下两个结论：
①∠AED+∠AFD＝180°；②DE＝DF．
那么在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的角平分线，点E和点F，分别在AB和AC上”，请探究以下两个问题：
（1）若∠AED+∠AFD＝180°（如图（2）），则DE与DF是否仍相等？若仍相等，请证明；否则请举出反例．
（2）若DE＝DF，则∠AED+∠AFD＝180°是否成立？（只写出结论，不证明）

【推荐3】如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：BM＝CN．

【推荐1】在正方形ABCD中，点E是射线BC上的点，直线AF与直线AB关于直线AE对称，直线AF交射线CD于点F．
(1)如图①，当点E是线段BC的中点时，求证：AF=AB+CF；
(2)如图②，当∠BAE=30°时，求证：AF=2AB﹣2CF；
(3)如图③，当∠BAE=60°时，(2)中的结论是否还成立？若不成立，请判断AF与AB、CF之间的数量关系，并加以证明．

【推荐2】在ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC于点A，(1)求∠BAD的度数； (2)证明：DC=2BD．

【推荐3】已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE．

(1)如图1，猜想△ADE是什么三角形？　       　；（直接写出结果）
(2)如图2，点D在射线CB上（点C的右边）移动时，∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系，请说明理由．
(3)当点在线段CB上移动时，△DEC的周长是否存在最小值？若存在．请求出周长的最小值以及此时△DEC的面积；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，菱形的两条对角线，相交于点O，若，，求菱形的周长．

【推荐3】【问题提出】
（1）如图1，的弦与相交于点P，连接、，若，，则的度数为______°；

【问题探究】
（2）如图2，已知正方形的边长为8，点E为边上一点，连接，过的中点O作于点F，若，求的长；
【问题解决】
（3）如图3，正方形是某森林景区示意图，为安全起见，工作人员计划在边上找一点E，对角线上找一点F（点E、F均不与端点重合），将的中点O处设为救援中心，沿修建两条紧急救援通道，并在这两条小路上安排安保人员巡逻．根据规划要求，，为了合理安排巡逻人数，需要知道与之间的数量关系，请你求出与之间的数量关系．