【推荐1】问题提出
(1)如图1，是一个边长为的等边三角形，则面积为         ．
问题探究
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，为点，求的面积．
问题解决
(3)某路口拐角处有一个五边形空地，为方便市民出行的需要，市政局准备在这片空地上给广大来往群众搭建一个遮阳棚．经过勘测发现，在如图所示的五边形中，，，米，，根据该路口的实际条件限制，需将遮阳棚形状设计为三角形，且的顶点、、分布在边、、上，点为中点，，为进一步提升市民的出行体验，想让遮阳棚面积尽可能大：请问，是否存在符合设计要求的面积最大的？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】问题提出：
（1）如图①在中，是边的高，点是上任意一点，若则的最小值为_　　　　；

（2）如图②，在等腰中，是的垂直平分线，分别交于点，，求的周长；

问题解决：
（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个区域种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路和，满足点到的距离为.为了节约成本，要使得之和最短，试求的最小值(路宽忽略不计)．

【推荐3】【了解概念】
我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段．若点在折线段上，，则称点是折线段的中点．

(1)如图2，的半径为2，是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则　　；
(2)【定理证明】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点是的中点，从向作垂线，垂足为，求证：是折弦的中点；

【变式探究】
(3)如图4，若点是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．
【灵活应用】
(4)如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　．

【推荐1】（1）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为__________．

（2）在图①中，若，则的长为__________；
（3）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点；
（4）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．

【推荐1】已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，点是轴负半轴上一点，四边形是菱形．
   
(1)如图1，求点坐标；
(2)如图2，连接，点是线段上一点（点不与点、点重合），连接，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，直线经过点，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为点、点，点是线段的中点，点是线段上一点，连接，当四边形是矩形时，求的面积．

【推荐3】李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．

(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时，     ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则     ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．