【推荐1】如图(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．   
（1）试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后(0°＜α＜90°)，如图(2)，通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；   
（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α (0°＜α＜360°)过程中，当BG为最小值时，求AF的值．

【推荐2】综合与实践
已知，如图1，将一块45°角的直角三角板AEF与正方形ABCD的一个顶点A重合，点E，F分别在AD，AB边上，连接BE，DF，点G是DF的中点，连接AG．

(1)请猜想线段AG与BE的关系，并说明理由；
(2)如图2，把三角板AEF绕点A按逆时针旋转α（0°＜α＜90°）；
①AG与BE的关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（提示：延长AG到点H，使GH＝AG）；
②若旋转角α＝30°，AE＝2，AB＝5，请直接写出线段BE的长度．

【推荐3】如图，直线y＝﹣x＋4，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C与点B关于原点对称．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）在线段OA的延长线上任取一点P，作PQ⊥BP，交直线AC于Q．求证：PQ＝PB；
（3）在（2）的条件下，过点P作PM⊥AC于点M，直接写出的值．

【推荐2】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB=，则GE的长为_____，并简述求GE长的思路．

【推荐1】将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点在边上（点不与点，重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与轴的正半轴相交于点，且，点的对应点落在第一象限．设．

   

(1)如图①，当时，的大小为______，点的坐标为______；
(2)如图②，若折叠后重合部分为四边形，点的对应点为，且在直线的下方，与边相交于点，折痕与边相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
(3)当，求折叠后重合部分面积的取值范围．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tan∠PDC＝，求值．

【推荐3】已知矩形ABCD，AB=6，BC=10，以BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在CD边上取一点E，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求线段EF长；
（2）在平面内找一点G，
①使得以A、B、F、G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点G的坐标；
②如图2，将图1翻折后的矩形沿y轴正半轴向上平移m(m＞0)个单位，若以A、O、F、G为顶点的四边形为菱形，请求出m的值并写出点G的坐标．
   

【推荐1】在一节数学课上，张老师提出了这样一个问题：“如图1，在等腰直角三角形中，，D是边上一动点（不与B重合），，交于点F．猜想线段，之间的数量关系并说明理由．”小聪和同桌小明讨论后，仍不得其解．张老师给出提示：数学中常通过把一个问题特殊化来找到解题思路．两个人茅塞顿开，于是进行了如下讨论，请仔细阅读，并完成相应的任务．

图1

小聪：己知点D是动点，因此可以将点D移动到一个特殊的位置．当点D与点C重合时，如图2所示．此时可以分别延长，交于点H，如图3所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系．

图2                                          图3                                     图4

小明：对于图2，过点F分别作，的平行线，交边于点M，N，如图4所示，可证明，进而得出线段，之间的数量关系．
(1)任务一：
如图2，判断线段，之间的数量关系：并在小聪与小明的方法中选择一种，写出详细的证明过程．
(2)任务二：
如图1，请直接猜想，之间的数量关系为__________．
(3)任务三：
如图1，若，当是直角三角形时，直接写出的长（用含a的代数式表示）．

【推荐2】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．
①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；
②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．

【推荐3】中，垂直平分，交线段于点E（点E与点C不重合），点F为直线上一点，点G为边上一点（点G与点A不重合），且．

(1)如图1，当时，判断线段和的数量关系：（用“＜”或“＞”或“＝”填空）；
(2)如图2，当时，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
(3)若，，，直接写出线段的长．