【推荐1】如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
   
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设点在此抛物线上，交轴于点，连接，，请判断的形状，并说明理由；
(3)设抛物线的对称轴交轴于点，在线段上是否存在点，使得成为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点坐标为（1，﹣4）．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，抛物线在第四象限的图象上有一点M，求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)如图2，直线CD交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点，点在第一象限的抛物线上．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求的面积；
(3)如图2，若G为x轴正半轴上一点，且，连接，当时，求出点P的横坐标；
(4)如图3，过点P作的平行线与交于点E，与x轴交于点Q，若，求出点P的坐标．

【推荐1】已知点是线段上与点不重合的一点，且绕点逆时针旋转角得到绕点顺时针旋转角得到，连接

（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，当点在的延长线上时，求证： ；
（3）如图3，过的中点作，过的中点作， 与交于点，连接，若，求的长度.

【推荐2】如图①，在中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于以为边向右作正方形设正方形与的重叠部分的面积为点的运动时间为(秒)．

（1）填空:_ ，用含的代数式表示则_              ；
（2）当点落在边上时，求的值．
（3）当正方形与的重叠部分图形为四边形时，求与的函数关系式．
（4）如图②，点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点匀速运动，作于以为斜边向左构造等腰直角，当的直角顶点R落在正方形的边或对角线上时，直接写出的值．

【推荐3】综合与实践
【问题发现】
在学习了“特殊的四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：
如图1，已知正方形为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点在上运动的过程中，四边形的面积不变．
根据上述猜想，兴趣小组的同学进行了证明，过程如下：
四边形是正方形，
，
，
，即．
．
．
又，
．
（依据：________）．
……
（1）上述证明过程中的依据是________，上述猜想中正确的有________（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图，已知矩形，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接．
①请判断线段与的数量关系，并说明理由．
②点在上运动时，四边形的面积是否改变？________．（填“不变”或“改变”）
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，若，点在上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．

【推荐1】已知抛物线与轴只有一个公共点且经过点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线：与抛物线相交于B、C两点（B点在C点的左侧），与对称轴相交于点P，且B，C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为，且．
①试探求与的数量关系；
②求线段的最大值，以及当取得最大值时对应的值．

【推荐2】已知抛物线（b，c为常数）的图象与x轴交于，B两点（点A在点B左侧）．与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若点P是y轴上一点，连接BP，当PB=PC，OP=2时，求b的值；
(3)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为，对称轴交x轴于点E，点Q是线段DE上一点，点N为线段AB上一点，且AN=2BN，连接NQ，求的最小值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，设点P的横坐标为m．

   

(1)直接写出a，c的值，并求出此时抛物线的顶点坐标；
(2)若，求点P的坐标；
(3)过点P作轴，垂足为点D，过点P作y轴的平行线与x轴交于点M，与相交于点N，过点N作y轴的垂线，交y轴于点E，设矩形的周长为C．
①求C关于m的函数解析式；
②当C随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，点E的坐标分别为（0，1），对称轴交BE于点F．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，一次函数y＝x﹣4的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，二次函数y＝ax²﹣x＋c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A．

(1)求二次函数的表达式；
(2)点P是二次函数图象的一个动点，设点P的横坐标为m，若∠ABC＝2∠ABP．求m的值；
(3)如图2，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．点M是直线BC上一动点，在坐标平面内是否存在点N，使得以点C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．