【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、y轴的正半轴上，点在第一象限，，，点的坐标为，点的横坐标为，且．

(1)如图，为边的中点，以点为顶点的直角的两边分别交边于，交边于

①求证：；
②求证：；
(2)在平面坐标内有点（点不与点重合），使得是以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标.

【推荐2】数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．

(1)操作发现：如图甲，在中，，且，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证，此时，线段的数量关系为：______；
(2)拓展应用：
如图乙，为等腰直角三角形，，已知点C的坐标为，点B的坐标为．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：
(3)迁移探究：
如图丙，小华又作了一个等腰，，且，她在直线l上取两点D、E，使得，请你帮助小华判断（1）中线段的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；

【推荐3】抛物线 经过点，现将一块等腰直角三角板按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点、坐标分别为、．点在抛物线图象上．

(1)求点的坐标：
(2)求抛物的解析式；
(3)在抛物线上是否还存在点点除外，使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB＝20，AD＝4，DE⊥AB于E．
（1）求DE的长．
（2）求证：AC＝2OE．

【推荐2】综合与实践活动课上，老师让同学们以“折纸做，，的角”为主题开展数学活动．
      
(1)操作判断
①如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点A落在上的点处，把纸片展平，连接．请写出图1中一个的角________；
②如图2，在前面操作的基础上，延长与交于点，则的形状是________．
(2)迁移探究
小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长与交于点，连接．
如图3，若改变点在上的位置（点不与点重合），判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形的边长为，当点是边的三等分点时，请直接写出的长．

【推荐3】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．已知在正方形纸片中，是边上的点（不与点重合），正方形的边长为9．
   
【操作发现】
（1）如图1，是边上一点，是边上一点．以直线为对称轴把正方形折叠，的对应线段为，其中点在边上，交边于点，连接，则线段与的关系为 　；
【实践探究】
（2）如图1，当时，求折痕的长；
（3）如图2，连接，交于点，连接，则与的数量关系是 ．

【推荐1】在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F．

(1)若点D为边中点．
①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；
②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；
(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值．

【推荐2】如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，过点D作射线AE的垂线，垂足为F，连接CF．

(1)如图1，若AD＝5，DF＝DC＝4，求BE的长；
(2)若E为BC中点．
①如图2，求证：CF＝CD；
②当AE＝3EF时，直接写出的值．

【推荐3】如图①，直线y=﹣x+8与x轴交于点A，与直线y=x交于点B，点P为AB边的中点，作PC⊥OB与点C，PD⊥OA于点D．
（1）填空：点A坐标为　 　，点B的坐标为　 　，∠CPD度数为　 　；
（2）如图②，若点M为线段OB上的一动点，将直线PM绕点P按逆时针方向旋转，旋转角与∠AOB相等，旋转后的直线与x轴交于点N，试求MB•AN的值；
（3）在（2）的条件下，当MB＜2时（如图③），试证明：MN=DN﹣MC；
（4）在（3）的条件下，设MB=t，MN=s，直接写出s与t的函数表达式．

【推荐1】如图所示，在△ABC中，，D、E分别是边AB、BC上的动点，且，连结AD、AE，点M、N、P分别是CD、AE、AC的中点，设．

（1）观察猜想
①在求的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令，解题思路如下：

如图1，先由，得到，再由中位线的性质得到， ，进而得出△PMN为等边三角形，∴．

②如图2，当，仿照小明的思路求的值；
（2）探究证明
如图3，试猜想的值是否与的度数有关，若有关，请用含的式子表示出，若无关，请说明理由；
（3）拓展应用
如图4，，点D、E分别是射线AB、CB上的动点，且，点M、N、P分别是线段CD、AE、AC的中点，当时，请直接写出MN的长．

【推荐2】已知：如图1，在平行四边形中，，对角线的长为，将沿射线方向以的速度运动，经平移得到(如图2)；同时，点P从点E以的速度向点B运动，点Q从点C以的速度向点D运动．过点P作交于点G，连接，交于点O，设运动时间为t(s)．解答下列问题：

(1)当平分时，求t的值；
(2)连接，设的面积为S(cm²)，求S与t的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻，使B、O、D三点共线？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知是的外接圆，为的直径，交于点，连接并延长交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接、，过点作，垂足为．求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，求的面积．