【推荐1】在中，，D是边上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到的的位置，使得；

(1)如图1，当，连接交于点F，若平分，，则_________．
(2)在（1）的条件下，求的长；
(3)如图2，连接，取的中点G，连接，猜想与存在的数量关系，并证明．

【推荐2】阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.
请你参考小明的做法解决下列问题：
⑴ 现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形．在图3中画出示意图，标注字母，指明拼接而成的平行四边形；
⑵ 如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）.

【推荐3】已知，点A（8，0）、B（6，0）．将线段OB绕着原点O逆时针方向旋转角度α到OC，连接AC．将AC绕着点A顺时针方向旋转角度β至AD，连接OD
（1）当α＝30°，β＝60°时，求OD的长
（2）当α＝60°，β＝120°时，求OD的长
（3）已知E（10，0），当β＝90°时，改变的大小，求ED的最大值

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． 点P从点A出发，沿折线AC—CB运动，在边AC上以每秒3个单位的速度运动，在边CB上以每秒4个单位的速度向终点B运动．当点P与△ABC的顶点不重合时，过点P作其所在直角边的垂线，交边AB于点Q，以PQ为底边作等腰三角形△PQD，使PDAB． 设点P的运动时间t s，△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S．
（1）直接写出AB的长．
（2）用含t的代数式表示PQ．
（3）当点P在AC上时，求S与t的函数关系式．
（4）当△ABC的一条直角边平分△PDQ的腰时，直接写出t 的值．

【推荐2】已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
   
(1)填空：_________，_________，_________；
(2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值．

【推荐3】已知正方形的边长为4，点E是边的中点，，交对角线于点F．

(1)如图1，取的中点G，连接、、，求证：；
(2)如图2，是由沿射线平移得到的，点与点A重合，点M是的中点，连接、，交于点H．
①求证：；
②求的长．

【推荐1】如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．

（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）如图2，连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；
（3）如图3，当BC＝BG时，求圆C的半径长．

【推荐2】问题探究：如图①，在正方形中，点在边上，点在边上，且．线段与相交于点，是的中线．
   
（1）求证：．
（2）判断线段与之间的数量关系，并说明理由．
问题拓展：如图②，在矩形中，，．点在边上，点在边上，且，，线段与相交于点．若是的中线，则线段的长为　 　．

【推荐3】如图，在中，，以为直径的分别交，于点，，点在的延长线上，且．

（1）求证，直是的切线；
（2）若，，，求线段的长．