【推荐1】已知为等边三角形，为直线上一动点（点不与点、点重合）以为边作等边三角形，连接.
              
（1）如图①，当点在边上时，且点、点在同侧，其他条件不变，求证：；
（2）如图②，当点在边的延长线上时，且点、点在同侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明；
（3）如图③，当点在边的延长线上时，且点、点分别在直线的异侧，其他条件不变，请直接写出线段，，之间存在的数量关系，不需证明.

【推荐2】在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．
   
(1)如图1，当点在菱形内部或边上时，连接与的数量关系是__________，与的位置关系是__________；
(2)如图2，当点在菱形外部，且点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由；
(3)如图3，，点在线段的延长线上，连接，当四边形的面积为时，求的长．

【推荐3】【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为　 　；
②∠AMB的度数为　 　；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝ ，求点A、D之间的距离．

【推荐1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为斜边作等腰直角三角形△ACE、△BCF、△ABD．

（1）求证：点E、C、F在同一条直线上；
（2）求证：△ACE与△BCF的面积之和等于△ABD的面积；
（3）求证：点D在直线EF上；
（4）若△ABC的面积为10，求△BDF的面积．（注：等腰直角三角形三边的比为）

【推荐2】如图，中，，于点O，，．

(1)求，的长；
(2)若点D是射线的一个动点，作于点E，连结．
①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长．
②设直线交直线于点F连结、，若，则CD的长为 　 　（直接写出结果）．

【推荐3】将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立，

(1)直接写出点D、E的坐标：D______，E______．
(2)∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，
①如图①，求证AE＝EF；
②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积；
(3)如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且AP＝CQ，求的最小值．

【推荐1】王老师在组织同学们进行第一轮数学总复习时，对苏科版八年级下册数学教材第94页第19题进行了重新的探究，请你和王老师一起完成如下的问题探究：
   
问题初探：
(1)如图1，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？
直接判断： _____（填“=”或“≠”）；
问题迁移：
(2)如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论；
问题延伸：
(3)王老师将图2的四边形沿翻折得四边形，如图3，点P是点C的对应点，点Q是点D的对应点，已知正方形的边长为9，．
①若线段恰好经过点B，如图4，求的长．
②在图3中，连接，求线段的最小值．

【推荐2】如图，在边长为的正方形中，为边上一点．

(1)如图（），将射线绕点顺时针旋转后交的延长线于点，请直接写出四边形的面积为__________；
(2)如图（），若是的中点，是边上一点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，点恰好落在射线上，求证：；
(3)如图（），若点在正方形的对角线上，且，请直接写出的长度．

【推荐3】如图，在▱ABCD中，按下列步骤作图：
①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点M．交BC于点N；
②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；
③作射线BG交AD于F；
④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；
⑤连接EF，PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求DP的长．

【推荐1】如图，正方形的边长为，为对角线上一动点，以为直角顶点作交直线于点，交直线于点，
   
(1)如图，若点与对角线交点重合时，求证：．
(2)如图，若点为线段中点时，
①求证：；
②如图，当点在线段延长线上，且点使得，分别交，于，，则线段的长为______直接写出答案．

【推荐2】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．

图1                       图2                            图3                            图4

(1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于；
(2)如图2，正方形中，点是的中点，在上找一点，使得；
(3)如图3，在正六边形中，点是上一点，在上找一点，使得；
(4)如图4，在中，是劣弧的中点，点是优弧上一点，在上找一点，使得．

【推荐3】综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点在一条直线上，连接（如图1）

操作发现
（1）图1中线段和的数量关系是 　        　，位置关系是 　        　．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形都变为矩形，且，＝，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值