【推荐1】以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1~4．
试题分析
（Ⅰ）如图1，在中，，，D是外一点，且．求的度数．

小朋：我发现试题中有三个等腰三角形，设，易知，又因为AD，得，即可算出的度数．
小丽：我发现．则点B、C、D到点A的距离相等，所以点B、C、D在以点A为圆心，线段AB长为半径的图上……
猜想证明
（Ⅱ）如图1，在中，，，点D、A在BC同侧．
猜想：若______°，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．
对于这个猜想的证明，小华有自己的想法：
以点A为圆心，AB长为半径出圆．根据点与圆的位置关系，可以知道点D可能在内，或点D在上，或点D在外．故，只要证明点D不在内，也不在外，就可以确定点D一定在上．
（Ⅲ）进一步猜想：
如图2，在中，，，点D、A在BC同侧．若______°，则点D在以点A为圆心，线段AB长为半径的圆上．
（Ⅳ）对（Ⅲ）中的猜想进行证明．
(1)完成（Ⅰ）中的求解过程：
(2)补全猜想证明中的两个猜想：（Ⅱ）______；（Ⅲ）______；
(3)证明上面（Ⅲ）中的猜想：
(4)如图3为某大型舞台实景投影侧面示意图，，点A处为投影机，投影角，折线B—O—C为影像接收区．若影像接收区最大时（即最大），投射效果最好，请直接写出影像接收区最大时OB的长______．

                    图3

【推荐2】如图，在矩形中，经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为E，F，与边相交于点G．连并延长交边于点P．

(1)求证：；
(2)若，直接写出的长．

【推荐3】如图，中，，，点D为BC上一动点，，，点D关于直线EF的对称点为H，连接HE、HF．

(1)求的值；
(2)若，求DE长；
(3)连接DH，点D在运动过程中，求周长的最大值，并求出此时DE长．