【推荐1】如图，在矩形中，E、F分别是边上的点，，连接，与对角线交于点O，且，．若，求的长．

【推荐2】如图1，在中，，，，是上一点，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置．求图2中的比值．
   

【推荐3】操作与探究
图（1）
定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．
数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．
小东用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；
小颖分用24根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
小军受到小东、小颖的启发，用30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；
（1）请你画出小颖和小军摆出的直角“整数三角形”的示意图；
（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．
①摆出一个等腰“整数三角形”；
②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．

【推荐1】在中，的平分线交直线于点E、交的延长线于点F，连接．

(1)如图1，若，G是的中点，连接、．
①求证：．
②请判断的形状，并说明理由；
(2)如图2，若，将线段绕点F顺时针旋转至，连接、，那么又是怎样的形状．

【推荐2】按要求作图，不要求写做法，但要保留作图痕迹．
（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，E为BC上任意一点，请只用直尺（不带刻度）在边AD上找点F，使DF=BE．

（2）如图2，BE是菱形ABCD的边AD上的高，请只用直尺（不带刻度）作出菱形ABCD的边AB上的高DF．

【推荐3】平行四边形ABCD的对角线相交于点M，ΔABM的外接圆圆心O恰好落在AD边上，若∠BCD=45°．

（1）求证：BC为⊙O切线；
（2）求∠ADB的度数．

【推荐1】如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山．

(1)求山顶点C到水平面的距离；
(2)求山坡的长．

【推荐2】根据以下素材，探索完成任务．
【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂．

【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离．
【素材3】参考数据：，，，．
【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到）
【任务2】求长．

【推荐3】如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，且，连接．
   
(1)求证：四边形为矩形；
(2)连接，交于点F，连接，若，，求的长．

【推荐1】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以1的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以2的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．

(1)求经过几秒，的面积等于？
(2)的面积能否等于？请说明理由．
(3)求经过多少秒，与相似？

【推荐2】已知是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：

(1)当时，判断的形状，并说明理由；
(2)设的面积为，求与的函数关系式；
(3)作交于点，连接，当为何值时，．

【推荐3】如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A、B的坐标为、，动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M 沿向终点A运动，点N沿向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，已知动点运动了x秒．

(1)用含x的代数式表示P的坐标．
(2)设四边形的面积是y，求y的最小值，求出此时x的值．
(3)是否存在x的值，使以 P 、A 、M 为顶点的三角形与相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．