【推荐1】在平面直角坐标系中，点、分别在、轴上，且，，点、，且、满足．
   
(1)如图1，则________，________，点的坐标为________；
(2)如图，若平分，交轴于点，且满足于点，交于点，求证：；
(3)在（2）条件下，请同学们探究线段、、之间的数量关系，直接写出答案．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C的“师梅矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“竖直高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“师梅矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（，1），C（2， ），则“水平底”a=5，“竖直高”h=4，所以“师梅矩面积”S=ah=20．
(1)已知三点坐标分别为D（2，4），H（，1），I（5，），则“水平底”a=________，“竖直高”h=________，“师梅矩面积”s=________；
(2)已知点A（1，2），B（，1），P（0，t）．若A、B、P三点的“师梅矩面积”为8，求t的值．
(3)已知点E（4，0），F（0，2），M（2m，m），若E、F、M三点的“师梅矩面积”为12，求m的值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为、、，过点A作交于D点，交y轴正半轴于点E．
(1)如图，当时，求E点的坐标；

(2)如图，连接OD，求的度数；

(3)如图，已知点，若，，直接写出Q的坐标（用含t的式子表示）．

【推荐1】如图，正方形中，，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点．

       

(1)如图1，求证：．
(2)如图2，过作于点．
①试探索线段和的数量关系，并加以证明；
②如图3，连接，则的周长为________．（直接写出结果，不需要推理过程）

【推荐2】（1）【发现】如图1，在中，分别交于，交于．已知，，，求的值．
思考发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：的值为______．
（2）【应用】如图3，在四边形中，，与不平行且，对角线，垂足为．若，，，求的长．
（3）【拓展】如图4，已知平行四边形和矩形，与交于点，，且，，判断与的数量关系并证明．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．

(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；
(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；
(3)在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝ ，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．

【推荐1】如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．

(1)求证：．
(2)当时，求的长．
(3)令，．
①求证：．
②如图2，连接，，分别交，于点，，记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．

【推荐3】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．

求证：．
证明：延长至点，使，连结．
【问题解决】补全以上证明过程．
证明：延长至点，使，连接．
【规律探索】如图，在中，于点于点；点是的中点，连结，若，则_______．

【结论应用】如图，分别是的高线，连结．分别是的中点，则的长为_______．

【推荐1】【思维探究】
（1）如图1，在四边形中，，，，连接．
求证：．
   
小明的思路是：延长到点，使，连接．根据．
推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程；
【思维延伸】
（2）如图2，四边形中，，，连接，猜想、、之间的数量关系，请说明理由．
   

【推荐3】如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3．以点 B 为中心，顺时针旋转矩形 BADC，得到矩形 BEFG，点 A、D、C 的对应点分别为 E、F、G．
（1）如图1，当点 E 落在 CD 边上时，求线段 CE 的长；
（2）如图2，当点 E 落在线段 DF 上时，求证：∠ABD＝∠EBD；
（3）在（2）的条件下，CD 与 BE 交于点 H，求线段 DH 的长．