【推荐1】在中，为的中点．
（1）如图，，，设，求的取值范围．
（2）若点、分别在、上，且．
①如图，若，，当时，求的长：
②如图，若，，当时，求的长．

【推荐3】如图，和都是等腰三角形，，，，点E在上，点F在射线上，连接，若．

(1)求证：．
(2)求证：．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，矩形边，且在轴上，现将点与原点重合，然后将矩形以每秒4个单位长度的速度沿轴正方向移动；同时，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿对角线方向移动，设移动时间为秒，以为圆心，为半径作圆，交于点．当点到达点时，矩形和同时停止移动．

(1)_______，_______；（用含的代数式表示）
(2)如图②，运动过程中当三点共线时，求的值；
(3)在移动过程中，是否存在某一时刻，与所在直线及轴同时相切？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

【推荐2】如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：
   
(1)当x为何值时，为等腰三角形；
(2)当x为何值时，的面积为；
(3)当x为何值时，为等腰三角形．

【推荐3】已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作于点，交于点．设运动时间为．
解答下列问题：

(1)①判断：直线与的位置关系是　　；
②当点在线段的垂直平分线上时，求的值；
(2)连接，作于点N，当四边形为矩形时，求t的值；
(3)点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)连接，，设四边形的面积为，直接写出运动过程中的最大值．

【推荐1】如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，于点．

   

(1)如图1，过B作交的延长线于点若，，求的长度；
(2)如图2，将绕点逆时针旋转到，连接交于点，猜想和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在第（2）问的条件下，将沿着翻折得到，连接，当线段取得最大值，请直接写出的值．

【推荐2】如图，在矩形中，点F是射线上动点，连接，点G和点E分别在线段和上（不与端点重合），且满足．

(1)求证：；
(2)当时，连接并延长交于点H．求证：是等腰三角形；
(3)点N在边上，，当时，求的长．

【推荐3】四边形 内接于，为直径， E 在 的延长线上，且与相切．平分．

(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的半径