【推荐1】为等边三角形，D为平面内一点，，．
   
(1)如图1，连接，垂足为F，F为中点，求的面积；
(2)如图2，连接，连接，取中点G，连接交于点H，K为线段上一点，，连接，求证：为等边三角形；
(3)如图3，，P为中点，连接，当线段长度最小时，做点E关于直线的对称点，请直接写出此时的周长．

【推荐2】已知：四边形中，，，分别为中点，相交于点．

(1)如图，如果，求证：．
(2)当，时，求的长；
(3)当为直角三角形时，线段与之间有怎样的数量关系？并说明理由．

【推荐3】已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、．

(1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______；
(2)如图②，点在上，，求证：；
(3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：．

【推荐2】综合与实践
数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等．
【动手操作]如图，已知菱形，求作点E，使得点E到三个顶点A，D，C的距离相等．小红同学设计如下作图步骤∶

连接；
②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径分别在的上方与下方作弧：上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点E．
③连接，，则．
(1)根据小红同学设计的尺规作图步骤，在题图中完成作图过程(要求∶用尺规作图并保留作图痕迹)
(2)[证明结论]证明：．
(3)[拓展延伸]当时，求与的面积比．

【推荐1】如图，是的直径，，点是的中点，连接、．是的半径（点不与点重合），点关于直线的对称点为点，连接、、．
   
(1)的长为______．（结果保留）
(2)当点与点重合，且点在上时，求所在的扇形的面积．（结果保留π）
(3)当点在直线右侧，且与的某条直角边平行时，求的长．
(4)当时，直接写出的长．