【推荐1】如图，在矩形中，，，G，H分别是边上的点，且，E，O，F分别是对角线上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)填空：①当        时，四边形是矩形；
②当       时，四边形是菱形；
(3)求四边形的周长的最小值．

【推荐2】如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．

（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF．
（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=时，求线段CG的长．

【推荐1】如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．

(1)画出；
(2)的面积＝______；
(3)连接、，那么与的关系是______，线段AC扫过的图形的面积为______．
(4)在AB的右侧确定格点Q，使的面积和的面积相等，这样的Q点有______个．

【推荐2】如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，点 A的坐标为(-4，1)，点B的坐标为(-1，1)，点C的坐标为（-1，3）．

(1)画出：
①△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A₁B₁C₁；
②画出△ABC关于原点O对称的△A₂B₂C₂．
(2)求△ABC绕原点O顺时针旋转90°的过程中，AB边所扫过区域的面积

【推荐3】如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A₁OB₁．
（1）画出△A₁OB₁；
（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；
（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

             

(1)求该抛物线解析式和的值；
(2)如图1，点为第一象限抛物线上的点，连接．当时，求点的坐标；
(3)如图2，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点分别为的边上的动点，且，记的最小值为．求的值．

【推荐2】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点，与x轴交于点B，，直线CD与y轴交于点D，与x轴交于点，，直线AB与直线CD交于点Q，E为直线CD上一动点，过点E作x轴的垂线，交直线AB于点M，交x轴于点N，连接AE、BE．
求直线AB、CD的解析式及点Q的坐标；
当E点运动到Q点的右侧，且的面积为时，在y轴上有一动点P，直线AB上有一动点R，当的周长最小时，求点P的坐标及周长的最小值．
在问的条件下，如图2将绕着点B逆时针旋转得到，使点M与点G重合，点N与点H重合，再将沿着直线AB平移，记平移中的为，在平移过程中，设直线与x轴交于点F，是否存在这样的点F，使得为等腰三角形？若存在，求出此时点F的坐标；若不存在，说明理由

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，在y轴上．O为坐标原点，，线段的长分别是方程的两个根．

(1)请求出点B的坐标；
(2)如图2，P为上一点，Q为上一点，，将翻折，使点O落在上的点处，记，，求的值；
(3)在（2）的条件下，M为坐标轴上一点，在平面内是否存在点N，使以，Q，M，N为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．