【推荐1】如图①~⑧是人教版课本上的折纸活动．
   
【重温旧知】
上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图①、③；有的是为了发现或证明定理，如图④和⑦；有的是计算角度，如图②；有的是计算长度，如图⑤和⑥．
1．（1）图③中的的形状是        ；
（2）图④的活动发现了定理“                                               ”（注：填写定理完整的表述）；
（3）图⑤中的的长是               ，并写出解答过程．
【换种折法】
2． 如图，正方形在第一次对折后，再次折叠，使点A与点F重合，折痕为，点D落在点处，与交于点P．说明P为的三等分点．
   

【推荐2】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
（1）图中DE＝　 　尺，EB＝　 　尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

【推荐3】如图，在中，，，，为上一点，而且，求的长．

【推荐1】如图，已知点是线段上一点，以为直径作，点为的中点，过点作的切线，为切点，连接交于点．
   
(1)证明：；
(2)若，，求的长．

【推荐2】人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．

(1)如图1，是的切线．点C，D在上．求证：；
(2)如图2，是的切线．连接交于点D，为的直径．若，，的半径为5，求的长．

【推荐3】如图，内接于，是的直径，延长至点D，使得，连接交于点E，过点E作的切线交于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐1】一次函数y=kx+k的图象经过点，且分别与x轴、y轴交于点A、B．点（a,0）在x轴正半轴上运动，点（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB．
(1)求k的值，并在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；
(2)求a与b满足的等量关系式．

【推荐2】已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E在边AD上，CE与BD相交于点F，AD＝4，AB＝5，BC＝BD＝6，DE＝3．
（1）求证：DFE∽DAB．
（2）求线段CF的长．

【推荐3】如图，在等腰中，，，于点D，点E在线段上，连接，将线段绕点E逆时针旋转，点C的对应点F恰好落在的延长线上．

       

(1)如图①，当时．
①求证：；
②求的值；
(2)如图②，当时，求的长．