【推荐1】如图，在中，，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动．点为边的中点，连结，以和为边作，设点运动的时间为秒．

(1)用含的代数式表示线段的长；
(2)当点落在边上时，求的值及此时与重叠部分图形的面积．
(3)当与重叠部分图形为轴对称图形时，求的值．
(4)作点关于直线的对称点，当点落在▱内部时，直接写出的取值范围．

【推荐2】【知识呈现】如图①，在中，是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．求证：；

【结论应用】
（1）如图②，在中，点是边的中点，与的延长线交于点，点、分别在线段、上，且，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图③，在矩形中，，，分别取、边的中点、，连接，经过线段的中点任意作一条直线，作点关于直线的对称点，连接、、，过点作的平行线交的延长线于点，连接，得到四边形，则四边形面积的最大值为______．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N．
（1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由；
（2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tan∠PDC＝，求值．