【推荐1】如图，正方形边长为，点E为对角线上一点，，点P在边上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在边上以的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒（）．

(1)求证：．
(2)当是直角三角形时，求t的值．
(3)连接，当时，求的面积．

【推荐2】[问题提出]
(1)如图1，已知线段AB＝4，点C是一个动点，且点C到点B的距离为2，则线段AC长度的最大值是________；

[问题探究]
(2)如图2，以正方形ABCD的边CD为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为2，求AE长度的最大值；

[问题解决]
(3)如图3，某植物园有一块三角形花地ABC，经测量，AC＝20米，BC＝120米，∠ACB＝30°，BC下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC下方找一点P，将该花地扩建为四边形ABPC，扩建后沿AP修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC需满足∠BPC＝60°．为容纳更多游客，要求小路AP的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP的长度是否存在最大值？若存在，求出AP的最大长度；若不存在，请说明理由．

【推荐3】点是正方形对角线上一动点，点在射线上，且，连接，为中点．

(1)如图1，当点在线段上时，连接交于点，
①试判断的形状，并说明理由；
②若正方形边长为，当点为的中点，则的长为          ．
(2)如图2，当点在线段上时，试探究线段，，的等量关系，并说明理由．
(3)若，连接，取的中点，则当点从点运动到点时，点所经过的路径长为          ．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，，将线段向右平移个单位长度，得到线段，连接
   
(1)直接写出点、点的坐标
(2)如图，延长交轴于点，点是线段上的一动点，连接、，猜想、、之间的数量关系，并说明理由
(3)在轴上是否存在点，使的面积与四边形的面积相等，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由

【推荐2】如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动.连结DF，DE, EF. 过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t(不考虑D、E、F在一条直线上的情况).

(1) 填空：当t=      时，AF=CE，此时BH=         ；
(2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；
(3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S,△DEF的周长为C.
① 求S关于t的函数关系式；
② 直接写出周长C的最小值.

【推荐3】在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中．

（1）如图1，M、N分别是，中点，当四边形是矩形时，求t的值．
（2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与E，F相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求t的值；
②如图3，作的垂直平分线交、于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的一半时，则t的值是_______．

【推荐1】如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心、的长为半径作优弧，使点A在原点的左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4．
   
(1)___________；
(2)点是优弧上任意一点，则的最大值为___________；
(3)在（2）的条件下，当最大，且时，固定的形状和大小，以原点为旋转中心，顺时针旋转．
①连接，，在旋转过程中，与有何数量关系，并说明理由；
②直接写出在旋转过程中，点到所在直线的距离d的取值范围．

【推荐1】如图，是的直径，是上的一点，连接，，是上的一点，过点作的垂线，与线段交于点，点在线段的延长线上，且满足．

（1）求直线与的公共点个数，并说明理由；
（2）当点恰为中点时，若的半径为，，求线段的长．

【推荐2】如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：； 方案二：.
经测量得AB=4千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米.
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.

【推荐3】如图，已知矩形，在上取两点在左边)，以为边作等边三角形，使顶点在上．
(1)求△PEF的边长；

(2)若△PEF的边在线段上移动．分别交于点．求证：．