【推荐1】如图1，在Rt中，，AC=BC=4，D是AB的中点．延长至点，在右侧作，点为射线上一点，连结交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如图 2，点在射线上，且平分，连结．
①求证：；
②当是以为腰的等腰三角形时，则          ．(直接写出答案，结果保留根号)．

【推荐2】如图，，，点C在边上，点A，C，E在同一直线上．
   
(1)求证；
(2)点O是上一点，，连接并延长交于点F．
①求证：点F是的中点；②求的值．

【推荐1】如图，为等边三角形，为边上一点，连接为的中点，连接．

(1)如图1，若，求的长；
(2)如图2，在延长线上取一点，连接，使得，求证：；
(3)如图3，在（2）问的条件下，若，当最小时，在线段上有一动点，连接，将沿翻折得到，连接，在线段上取一点，使得，当最大时求的面积，直接写出答案．

【推荐2】问题呈现：如图1，在中，，以为边向外作等边，求的长．

   
操作探索：小明同学为了寻找与已知线段、之间的数量关系，他将问题特殊化，将线段绕点顺时针旋转到上，如图，进而联想到自己非常熟悉的图模型，以为边作等边，连．
(1)如图3，直接写出与间的数量关系_________；
(2)如图1，求的长．
理解运用：
(3)根据以上探索，如图4，在四边形中，．若，，求的长．
延伸拓展：
(4)已知，如图5，为正内一点，．直接写出以，、为边构成的三角形各个内角的度数．

【推荐3】如图，长方形纸片，，，点是线段上一点，连接，将沿折叠，得到，点对应点．

(1)连接，若，求的长；
(2)连接，若是以为底角的等腰三角形，求的长；
(3)如图，过点作，垂足为，延长与交于点，若点在线段上，试探究四边形的周长与四边形的周长之比是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．

【推荐1】有公共顶点A的两个正方形与，连接，点M是的中点，连接交于点N．

(1)如图1，当点E，G分别在边上时，直接写出线段与之间的数量关系和位置关系：
(2)如图2，将正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由：
(3)如图3，将正方形绕点A顺时针旋转，当点E在边的延长线上、点G在边上时，连接与相交于点H，
①求的度数；
②连接交于点I，请直接写出的值．

【推荐3】已知，A、B、C、D四点在⊙O上，A是的中点，延长交于E．

(1)如图1，连接，求证：；
(2)G是的中点，连接，作交于H点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，经过圆心O，连接交于M，若，求的长度．