【推荐1】如图．为半圆的直径，点为半圆上一点，过点作半圆的切线交的延长线于点．过点作于点，交半圆于点，过点作于点，连接，，．

（1）求证：；
（2）填空：①连接，当的度数为______时，四边形为菱形；
②若．，则的长为______．

【推荐2】如图1，在中，，，于点D，点E在边上，连结交于点O，于点F，交于点G．

(1)求证：；
(2)如图2，若点E是边的中点，连结，求证：；
(3)如图3，若点E是边上的动点，连结．当点E在边上（不含端点）运动时，的大小是否改变，如果不变，请直接写出的度数；如果要变，请说明理由．

【推荐1】平面直角坐标系xOy中，已知函数（x＞0）与（x＜0）的图象如图所示，点A、B是函数（x＞0）图象上的两点，点P是（x＜0）的图象上的一点，且轴，点Q是x轴上一点，设点A、B的横坐标分别为m、n（m≠n）．
(1)求△APQ的面积；
(2)若△APQ是等腰直角三角形，求点Q的坐标；
(3)若△OAB是以AB为底的等腰三角形，求mn的值．

【推荐2】阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC．
理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．

（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；       
（2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；   
（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB＝400米，BC＝600米，∠ABC＝45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短距离（不要求证明）．

【推荐1】综合与实践
综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．
【操作判断】
   
如图①，在矩形中，，点M，P分别在边，上（均不与端点重合）且，以 和 为邻边作矩形，连接，．
（1）如图②，当时，与的数量关系为             ，与的数量关系为            ．
【迁移探究】
（2）如图③，当时，天天先将矩形绕点A 顺时针旋转，再连接，则CN与之间的数量关系是             ．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，求线段的长．

【推荐2】小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，四边形ABCD中，，点P，Q分别在四边形ABCD的边BC，CD上，，求证：．
______；
小敏进行探索，如图2，将点P，Q的位置特殊化，使，，点E，F分别在边BC，CD上，此时她证明了请你证明此时结论；
受以上的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为E，F，请你继续完成原题的证明．

【推荐3】如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．

探究一：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．
因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，
所以EF＝FG＝GH＝HE＝，设EB＝x，则BF＝﹣x，
∵Rt△AEB≌Rt△BFC
∴BF＝AE＝﹣x
在Rt△AEB中，由勾股定理，得
x²+（﹣x）²＝1²
解得，x₁＝x₂＝
∴BE＝BF，即点B是EF的中点．
同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．
所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍
探究二：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）
探究三：已知边长为1的正方形ABCD，　 　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）
探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）

【推荐1】如图，已知的角平分线经过圆心交于点、，是的切线， 为切点．

(1)求证：也是的切线；
(2)如图，在（1）的前提下，设切线与的切点为，连接交于点；连接交于点，连接，；记为．
①若，，求线段的长；
②小华探究图之后发现：（为正整数），请你猜想的数值？并证明你的结论．

【推荐2】如图1在中，，，是中点，为上一点，连接，过作于交于．

(1)求证：；
(2)探究与的数量关系，并证明；
(3)如图2，若，求的值．

【推荐3】如图，A，B，C，D是矩形的四个顶点，AB=12cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，运动到点B停止；动点Q同时从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，当点P停止运动时，点Q也立即停止运动．
（1）设点P运动的时间为t，请用t的代数式表示BP和CQ：BP=　 　，CQ=　 　；
（2）是否存在某一时刻，以A，P，D为顶点的三角形与△BCQ相似？如果存在，请求出t的值；
（3）是否存在某一时刻，使得△BPQ为等腰三角形？如果存在，请求出点P运动的时间．