【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点．点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，连接，求的面积；
(3)是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标；

【推荐2】如图，顶点为的二次函数图象经过原点，点P在该图象上，交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接，．
   
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若点P的坐标是，求的面积；
(3)当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：；
②若为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

【推荐1】若关于的二次函数（为常数）与轴交于两个不同的点、，与轴交于点，其图象的顶点为点是坐标原点．
（1）若、、，求此二次函数的解析式并写出二次函数的对称轴；
（2）如图1，若，，为直角三角形，是以的等边三角形，试确定的值；
（3）设为正整数，且，，为任意常数，令，，如果对于一切实数，始终成立，求的值．

【推荐2】如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点,为抛物线的顶点，直线轴于点是线段上一点，且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接，在直线上是否存在点，使得成为直角三角形?若存在，求出点坐标;若不存在，请说明理由.
(3)如图2，连接交轴于点为线段上一动点，以为等腰三角形顶角顶点，为腰构造等腰，且点落在线段上，若在线段上始终能找到两个这样的点，则此时动点的纵坐标的取值范围是            .(直接写出结果)

【推荐3】已知抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A（1，0），B（－2，0）两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接AC，BC， 点P是抛物线上一点，且∠PBC=∠ACO，求直线BP的解析式；
(3)如图2，点Q为抛物线上的一点，且在第一象限内，过Q点作直线AQ，BQ分别交y轴于E，F两点，当EF=1时，求点Q的坐标．

【推荐3】在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=8，点P在射线BC上，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置(点B落在点E处)，

(1)如图1，当点P是BC中点时，连接CE，求证：CE∥AP；
(2)如图2，当点E落在CD延长线上时，求BP的长．

【推荐1】定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．

(1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为___________．
(2)如图②，中，，，直接写出它的所有伴随圆的半径．
(3)如图③，中，点在边上，，为的中点，且．
①求证：的外接圆是的边上的伴随圆；
②的值为___________．

【推荐2】把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．

（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，　　　　　　；将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？答：　　　　　　（填“会”或“不会”）；若改变，的值为　　　　　　（不必说明理由）；
（2）在（1）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用）

【推荐3】如图，抛物线经过A（－1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点 D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得中的某个角等于的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．