问题提出：
（1）如图1，在四边形
中，已知：
，
，
，
的面积为8，求
边上的高．
问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点
是
边上一点，且
，
，连接
，求
的面积
问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点是边上任意一点，连接
、，若，的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．
（1）如图1，在四边形
中，已知：，，，的面积为8，求边上的高．问题探究
（2）如图2在（1）的条件下，点
是边上一点，且，，连接，求的面积问题解决
（3）如图3，在（1）的条件下，点
是边上任意一点，连接、，若，的面积是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；请说明理由．
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更新时间：2020-04-03 21:30:49
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较难
(0.4)
【推荐1】已知：关于
的一元二次方程
（
是整数，且
）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，则
；此时方程的两个根是 ．
的一元二次方程（是整数，且）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，则
；此时方程的两个根是 ．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】若关于的一元二次方程
的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式
一定为完全平方数．现规定
为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”
，的两根均为整数，其“快乐数”
，若有另一个“快乐方程”
的“快乐数”
，且满足
，则称
与互为“开心数”．
(1)“快乐方程”
的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程
（为整数，且
）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程
与
（、
均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．(1)“快乐方程”
的“快乐数”为________；(2)若关于
的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；(3)若关于
的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
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与
轴交于点
，与
是
，过点
交
（点
上，不与点
重合），
的式子表示）．
，则线段
存在唯一一点
于点
，连接
，是否存在点
中某个角恰好等于
的2倍？若存在，请求出点
【推荐1】阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.
如图一，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE⊥BC交BC于点E：
(1)根据阅读材料可得AD与DC的数量关系为__________.
(2)如图二，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与DC的数量关系，并证明你的猜想.
(3)如图三，△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，猜想线段AD与BD、BC的数量关系，并证明你的猜想.
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较难
(0.4)
【推荐2】综合与实践，在中，
为边的中点，以
为顶点作
．
，当射线
经过点
时，
交边
于点，不添加辅助线，则图中与
相似的三角形有_______．（填序号）
；
；
；
．
(2)如图
，将
绕点沿逆时针方向旋转，
分别交线段
于点，（点与点不重合），求证：
．
(3)在图中，若
，当
的面积等于的面积的
时，求线段
的长．
中，为边的中点，以为顶点作．
，当射线经过点时，交边于点，不添加辅助线，则图中与相似的三角形有_______．（填序号）；；；．(2)如图
，将绕点沿逆时针方向旋转，分别交线段于点，（点与点不重合），求证：．(3)在图
中，若，当的面积等于的面积的时，求线段的长．
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与
外离，
是
的角平分线，
切
．
是
作
(
，判断
与
位置关系并证明你的结论
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，在中，
，点
是
边上的动点（不与点、
重合），把沿过点的直线
折叠，点的对应点是点，折痕为
．
(1)若点恰好在边上．
①如图1，当
时，连接
，求证：
．
②如图2，当
，且
，
，求与
的周长差．
(2)如图3，点在边上运动时，若直线始终垂直于，
的面积是否变化？请说明理由．
中，，点是边上的动点（不与点、重合），把沿过点的直线折叠，点的对应点是点，折痕为． (1)若点
恰好在边上．①如图1，当
时，连接，求证：．②如图2，当
，且，，求与的周长差．(2)如图3，点
在边上运动时，若直线始终垂直于，的面积是否变化？请说明理由．
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较难
(0.4)
【推荐2】在正方形中，
是对角线，直线上有一点（不与、重合），连接，过点作
，交直线于点
(1)如图，当点在线段上时，求证：
；
(2)当
，且
时，直接写出线段的长；
(3)设
，
，当S取最小值时，直接写出
的值．
中，是对角线，直线上有一点（不与、重合），连接，过点作，交直线于点(1)如图，当点
在线段上时，求证：；(2)当
，且时，直接写出线段的长；(3)设
，，当S取最小值时，直接写出的值．
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，
，垂足分别为
，
，我们称
是平行四边形
，
．
，求证：四边形
，点
是平行四边形，且
，请通过尺规作图作出一个点
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较难
(0.4)
【推荐1】长方形ABCD中，AB=6，AD=8，点E为边AD上一点，将△ABE沿BE折叠后得到△BEF．
（1）如图1，若点E为AD的中点，延长BF交边CD于点G．
①求证：DG=FG．
②求FG的长度．
（2）如图2，若点E为边AD的一动点，连接FD，△DEF能否为直角三角形？若能，求出AE的值．若不能，请说明理由．
（1）如图1，若点E为AD的中点，延长BF交边CD于点G．
①求证：DG=FG．
②求FG的长度．
（2）如图2，若点E为边AD的一动点，连接FD，△DEF能否为直角三角形？若能，求出AE的值．若不能，请说明理由．
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.
（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.
（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；
（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.
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较难
(0.4)
【推荐3】数学概念
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形．
回忆旧知
（1）在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称．
知识运用
（2）已知四边形是等对角线四边形，图①中四边形
的四个顶点分别是四边形四条边的中点，图②中四边形
的边
，
，则（ ）
A．四边形、都是等对角线四边形
B．四边形、都不一定是等对角线四边形
C．四边形是等对角线四边形，四边形不是等对角线四边形
D．四边形不是等对角线四边形，四边形是等对角线四边形
概念证明
（3）规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形．
已知：如图，在等腰梯形中，
，
，
．
求证：等腰梯形是等对角线四边形．
类比迁移
在七年级（下）学习三角形的时候，我们曾用下图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
（4）请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系．
我们把对角线相等的四边形称为等对角线四边形．
回忆旧知
（1）在我们学习过的四边形中，找出一个等对角线四边形，写出它的名称．
知识运用
（2）已知四边形
是等对角线四边形，图①中四边形的四个顶点分别是四边形四条边的中点，图②中四边形的边，，则（ ） A．四边形
、都是等对角线四边形B．四边形
、都不一定是等对角线四边形C．四边形
是等对角线四边形，四边形不是等对角线四边形D．四边形
不是等对角线四边形，四边形是等对角线四边形概念证明
（3）规定：一组对边平行且不相等，另一组对边相等的四边形为“等腰梯形”，请尝试证明等腰梯形是等对角线四边形．
已知：如图，在等腰梯形
中，，，．求证：等腰梯形
是等对角线四边形． 类比迁移
在七年级（下）学习三角形的时候，我们曾用下图来揭示三角形和一些特殊三角形之间的关系：
（4）请用类似的方法揭示四边形、等对角线四边形、平行四边形、矩形、正方形、等腰梯形之间的关系．
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