1 . 一位经历过战争的老战士讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望．为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离，一个战士想出来这样的办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子；然后，他转过一个角度，这时视线落在了自己所在岸的某一点上，接着，这个距离就是他与碉堡间的距离．将这位战士看成一条线段，碉堡看成一点，示意图如下：

下面是彤彤同学写出的不完整的已知和求证，请你补全已知和求证，并完成证明．
已知：如图，，                        ．
求证：                ．
证明：

2 . 如图，在中，，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，垂足为，．

(1)当直线不与底边相交时．
①求证：，
②猜想，，之间的数量关系并证明．
(2)将直线绕点顺时针旋转，使与底边交于点（不与点，重合），请你探究，，之间的数量关系．

3 . 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图1．

(1)已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．
(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点

4 . 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌△CEB．②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．

5 . 探究：如图①，在中，，，直线l经过点C，且点A、B在直线的同侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．求证：．
应用．如图②，在中，，，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．探索线段AD、BE、DE之间的数量关系，并证明．

6 . 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，， ，AE与CE有什么数量关系？并证明你的结论．

7 . 如图，点A、B、D、E在同一直线上，，．请你添加一个条件，证明：．

(1)你添加的条件是_____________；
(2)请你写出证明过程．

8 . 如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．

9 . 如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：．

10 . 如图，．求证：．